Orthogonalité

Notation : Le fait que deux vecteurs   et   soient orthogonaux se note :

Définitions :

uvu • v = 0

(Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.)

Exemples :

Parmi ces vecteurs, lesquels sont orthogonaux ?

a)   = [1, 4] et

  .   = 1.8 + 4.(-2) = 8-8 =0 donc

b)   = [2, 3] et

  .   = 2(-1) + 3(4) = - 2 + 12 = 10 donc   et   ne sont pas orthogonaux.

c)   = [2, 4, -2] et

  .   = 2(1) + 4(4) + (-2)(7) = 2 + 16 – 14 = 4 donc   et   ne sont pas orthogonaux.

d)   = [3, 4, 5] et

  .   = 3(1) +4(-2) + 5 (1) = 3 – 8 + 5 = 0 donc

e)   = [1, 2, 0, 4] et

  .   = 1(2) +2(1) +0 (7) + 4 (1) = 2 + 2 – 4 = 0 donc

Remarque : On peut utiliser l’orthogonalité pour appliquer le théorème de Pythagore à la norme des vecteurs. Soit deux vecteurs   et   , on peut dire qu’ils sont orthogonaux ssi   ²

uv ⇔||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2