Rang d'une matrice

Cette leçon introduit le concept de rang de matrice, et explique comment déterminer le rang d'une matrice en examinant sa forme échelonnée.

Le rang d'une matrice

On peut considérer la matrice de taille r x c comme un ensemble de vecteurs colonnes  ayant chacun c éléments ; on peut aussi  voir la matrice comme un ensemble de c vecteurs colonnes, ayant chacun r éléments.

Le rang d'une matrice A, noté rg (A) est :

- le nombre maximal de vecteurs colonnes (ou ligne) linéairement indépendant ;

- la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs lignes (ou colonnes) de A ;

- le plus grand des ordres des matrices carrées inversibles extraites de A ; 

- la taille du plus grand mineur non nul de A ; 

- la plus petite des tailles des matrices B et C dont le produit est égal à A;

tous ces nombres étant égaux.

Pour une matrice de taille r x c 

Le rang d'une matrice sera nul si et seulement si la matrice n'a aucun éléments. Si a au moins un élément, alors son rang sera supérieur ou égal à 1.

Comment calculer le rang d'une matrice

L'une des façons est de calculer la forme échelonnée réduite de cette matrice (via une série de combinaisons linéaires des lignes). Cette nouvelle matrice a le même rang que la matrice originale et le rang correspond au nombre de lignes qui sont non nulles. 

Soit la matrice A et sa matrice échelonnée réduite, Aref

0 1 2
1 2 1
2 7 8
   ⇒   
1 2 1
0 1 2
0 0 0
A Aref

Comme la matrice échelonnée  Aref a deux lignes non nulles, l'on sait que cette matrice A a deux vecteurs colonnes indépendants et l'on trouve que le rang de la matrice A est 2.

On peut le vérifier : la ligne 1 et la ligne 2de la matrice A sont linéairement indépendantes.  Cependant, la ligne 3 est une combinaison linéaire des lignes 1 et 2. 

La ligne 3 = 3x( ligne 1) + 2x( ligne 2). Donc la matrice A n'a que deux vecteurs colonnes indépendants.

Matrices de rang plein

Quand tous les vecteurs d'une matrice sont linéairement indépendants, on dit que la matrice est de rang plein. Soient les matrices A et B

A =  
1 2 3
2 4 6
  B =  
1 0 2
2 1 0
3 2 1

L'on remarque que la 2ème ligne de la matrice A est un multiple de la ligne 1. Par conséquent, les lignes 1 et 2 sont linéairement dépendantes. La matrice A n'a qu'une seule ligne linéairement indépendante donc elle est de rang 1 (et non de rang de plein).

La matrice B a quant à elle toutes ses lignes linéairement indépendantes, donc elle est de rang 3 et dite de plein rang.

Exercices résolus

Problème 1

Soit la matrice X

X =    
1 2 4 4
3 4 8 0

Quel est son rang ?

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Solution

La réponse est (C). Puisque le nombre d'éléments de la matrice est supérieur à 0, son rang est supérieur à 0. Et puisqu'elle a moins de lignes que de colonnes, son rang maximal est égal au nombre maximal de lignes linéairement indépendantes. Les deux lignes n'étant pas linéairement dépendantes, la matrice est de rang 2.

Problème 2

Soit la matrice Y :

Y =    
1 2 3
2 3 5
3 4 7
4 5 9

Quel est son rang ?

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Solution

La réponse est (C). Puisque le nombre d'éléments de la matrice est supérieur à 0, son rang est supérieur à 0. Et puisqu'elle a moins de colonnes, que de lignes, son rang maximal est égal au nombre maximal de colonnes linéairement indépendantes. 

Les colonnes 1 et 2 sont indépendentes, car l'une n'est pas le multiple de l'autre. Cependant, la colonne 3 est linéairement dépendante des colonnes 1 et 2car la colonne 3 est égale à la somme des colonnes 1 et 2. La matrice a donc deux colonnes linéairement indépendantes, elle est donc de rang 2.