Смешанным произведением векторов a,b,c называется число .
Смешанное произведение будем обозначать abc.
Смешанное произведение abc некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, сторонами которого служат векторы a,b,c, взятому со знаком "+", если векторы образуют правую тройку, и со знаком "-", если -- левую.

Правая тройка


Левая тройка

Пусть h -- высота параллелепипеда. Если a,b,c -- правая тройка векторов, то , если a,b,c -- левая тройка, то . Так как -- объем параллелепипеда, то получим в случае правой тройки и в случае левой тройки сомножителей.

Заметим, что если тройка векторов a,b,c является правой, то тройки c,a,b и b,c,a также будут правыми, а тройки b,a,c, c,b,a и a,c,b будут левыми тройками векторов.
Так как объем параллелепипеда не зависит от того, в каком порядке перечисляются его стороны, то



Объем треугольной пирамиды, ребрами которой служат векторы a,b,c, равен .

Доказательство.     Построим параллелепипед, три ребра которого совпадают с тремя ребрами пирамиды, выходящими из одной точки.


Объем параллелепипеда вычисляется по формуле , а объем пирамиды -- . Так как , то .
Получим, что , а .     
Получим формулу для нахождения смешанного произведения по координатам сомножителей.