Funções
Implícitas, Derivadas de Funções Implícitas
(uma função implícita é uma função
que é definida implicitamente por uma relação entre o seu argumento e o seu
valor.)
Introdução às funções Implícitas
Seja y relacionado com x pela
equação
(1) f(x,
y) = 0
E suponha o locus tal como é
mostrado na Figura 1.
Não podemos dizer que y é uma função
de x já que para um determinado valor de x há mais do que um valor de y
(porque, na figura, uma linha perpendicular ao eixo do x intersecta o locus em mais
de um ponto) e uma função é, por definição, de valor único. Embora a equação
(1) acima não defina y como uma função de x, podemos afirmar que, em certos
segmentos criteriosamente escolhidos do locus y pode ser considerado como uma
função de um único valor de x [exprimível como y = f (x)]. Por exemplo, o
segmento P1P2 pode ser isolado, como definindo a função y = f (x). Como
consequência é costume dizer que a equação (1) define y implicitamente como uma
função de x; e referimo-nos a y como uma função implícita de x.
Definição
Uma função definida por uma equação
da forma f (x, y) = 0 [em geral, f (x1, x2,... , xn) = 0 ]. Se y for
considerado como variável dependente, então f (x, y) = 0 define y como uma
função implícita de x.
Teorema da
Função Implícita
O Teorema da função implícita
fornece uma condição sob a qual uma relação define uma função implícita. Afirma
que, se o lado esquerdo da equação R(x, y) = 0 é diferenciável e satisfaz
alguma condição suave nas suas derivadas parciais nalgum momento (a, b) de
tal modo que R(a, b) = 0, então, ele define a função y = f(x)
um intervalo contendo a. Geometricamente, o gráfico definido por R (x,y) =
0 vai-se sobrepor localmente com o gráfico de uma equação y = f(x).
Derivadas e funções implícitas.
Considere o locus de f(x, y) = 0 mostrado
na Fig. 1.Vamos fazer a seguinte pergunta: “Num determinado ponto do locus qual
é o valor da quantidade dy/dx?” Esta pergunta pode ser respondida em todos os
pontos do locus, excepto os pontos P1,P2,P3 e P4 (nestes pontos, a quantidade dy/dx
não existe – torna-se infinito) e a resposta é:
Se tivermos uma equação do tipo f(x,
y) = 0, e sejam satisfeitas determinadas condições, pode-se ver uma das
variáveis como uma função da outra na vizinhança de um ponto específico (x0,
y0) que satisfaz a equação. As condições que devem ser cumpridas são
apesentadas no teorema da função implícita.
Diferenciação de funções implícitas.
Se tivermos uma equação tal como
f(x, y, ... , u) = 0 a qual define uma variável como uma função das outras implicitamente, existem duas técnicas para calcular
derivadas.
1. Diferenciação directa. Dada uma determinada variável a ser considerada como
variável dependente, se for possível resolver a equação para a variável
dependente em termos de variáveis independentes, podemos calcular a derivada
directamente pela fórmula.
Exemplo. Calcule dy/dx
para a equação y - 3x2 + 5x + 1 = 0.
Solução. Resolver a equação
para y para obter
y
= 3x2 -5x -1
e calcule a derivada directamente
como dy/dx = 6x - 5.
2. Diferenciação implícita. Decida qual é a variável que deve de ser considerada a
variável dependente e qual a independente. Digamos que seja y considerada a
variável dependente em f(x, y) = 0. Tendo y como a variável dependente,
diferencie a equação na sua presente forma em ordem à variável independente x
e, em seguida, resolva a relação resultante para dy/dx . Este método é
conhecido como a diferenciação implícita.
Exemplo. Calcule dy/dx para a
equação x5 + x2y3 - y6 + 7 = 0.
Solução. Diferenciando
implicitamente, obtemos
Resolvendo para dy/dx dá
Porque
na maioria dos casos, é difícil ou impossível de resolver em ordem à variável
dependente, normalmente usamos o método de diferenciação implícita.
Teorema Na equação f(x, y) = 0 que define implicitamente y como
uma função de x, a derivada de dy/dx é dada em termos das derivadas parciais
f(x, y) by
Prova. O
diferencial total da função z = f(x, y) é dado pela
Se
considerarmos a restrição que z = f(x, y) = 0 (ou seja, os valores de x e y são
restritos ao conjunto da solução de f(x, y) = 0), então z é constante, dz é zero,
e o diferencial total torna-se
Então,
resolvendo para dy/dx, obtemos
Derivadas
parciais de funções implícitas. Sejam duas ou mais variáveis relacionadas
através de uma equação do tipo
F(x,
y, z, ...) = 0 .
Desde
que as condições para o teorema da função implícita sejam satisfeitas, podemos tomar
uma das variáveis e vê-la como uma função do restante das variáveis. Se escolhermos
z como a variável dependente, as derivadas parciais de z em ordem ás outras
variáveis são dadas por
Prova. A
prova é essencialmente a mesma que a prova acima para o caso f(x, y) = 0 já que
todas as variáveis, excepto as duas em questão são tratadas como constantes
quando se toma as parciais.