Définition de la colinéarité

Soit un couple de points (A,B) du plan ou de l'espace définit un vecteur géométrique   ; si A et B (respectivement A' et B') sont des points non confondus, les vecteurs   et   sont colinéairessi et seulement si les droites (AB) et (A'B') sont parallèles cad s’il existe un réel k tel que   =k.   

Colinéaritéet coordonnées : Soit   et    deux vecteurs, dont les coordonnées dans une base fixée (ou dans un repère fixé) sont   =(u1, …., un)et   =(v1, …., vn)

Alors    et    sontcolinéaires si et seulement si  uivj=ujvi pour tous indices i et j.

En dimension 2, ceci nous donne le théorème suivant : pour   = (x, y) et   = (x’, y’) deux vecteurs non nuls, u et v sont colinéaires ⇔ x.y’– x’.y = 0

Lacolinéaritéest une notion importante en géométrie affine car elle permet de caractériser

 Inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire

Dans un espace vectoriel muni du produit scalaire, on a les deux inégalités suivantes :

1)Inégalité de Cauchy-Schwarz : |u• v| ≤ ||u|| ||v||

2) Inégalité triangulaire : ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||

Dans R2et R3, l’inégalité triangulaire devient une égalité si les deux vecteurs sont colinéaires (comme les vecteurs a et b du schéma précédent)