Progressioni aritmetiche e geometriche


Sequenze. Sequenze numeriche. Termine generale di una sequenza numerica.
Progressione aritmetica. Progressione geometrica. progressione geometrica infinitamente decrescente. Conversione di un decimale periodico in una frazione.

Sequenze. Consideriamo la serie dei numeri naturali: 1,  2,  3, ... ,  n - 1,  n , ... .
Se  sostituiamo ogni numero naturale  n  in queste serie con alcuni numeri   un , subordinato a una legge, otteniamo una nuova serie di numeri:

u1,   u2,   u3, ...,   u n - 1,   u n  , ... ,

chiamata sequenza numerica. Un numero  un  é chiamato termine generale della sequenza numerica.
Esempi di sequenze numeriche:

2,   4,   6,   8,   10,  ... ,  2n,  ... ;

1,   4,   9,   16,   25,  ... ,  n² , ... ;

1,  1/2,  1/3,  1/4,  1/5,  ... , 1/n , ... .

Progressione aritmetica.  La sequenza numerica, in cui ogni termine successivo all'inizio del secondo é pari al termine precedente, aggiunto con la costante di questo numero di sequenza  d, é chiamata progressione aritmetica. Il numero  d é chiamato differenza comune. Ogni temine della progressione aritmetica é calcolato con la formula:

an =  a1 + d ( n - 1 ) .

La somma dei primi  n termini della progressione aritmetica é e calcolata con:

E s e m p i o . Trovare la somma dei primi 100 numeri dispari.
S o l u z i o n e . Utilizzare l'ultima formula. Con  a1 = 1,   d = 2 . Quindi, abbiamo:

Progressione geometrica.  La sequenza numerica, in cui ogni termine successivo all'inizio del secondo é pari al termine precedente, moltiplicato per la costante per questa sequenza numerica q, e chiamata progressione geometrica. Il numero q é chiamato rapporto comune. Ogni termine di una progressione geometrica é calcolato dalla formula:

bn =  b1  q n - 1  .

La somma dei primi  n termini della progressione geometrica é calcolata come:

progressione geometrica infinitamente decrescente. Questa e la progressione geometrica, con 
| q | < 1 . Infatti la nozione della somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente é determinata come un numero, per cui la somme del primo n termini  della progressione considerata unboundedly approximates at an unbounded increasing of number  n . La somma della progressione geometrica infinitamente decrescente é calcolata con la formula:

E s e m p i o .  Trovare la somma della progressione geometrica infinitamente decrescente::

S o l u z i o n e . Usiamo l'ultima formula. Sia  b1= 1,   q = 1/2. Quindi abbiamo:

                                                                             

Conversione di un decimale periodico in una frazione. Supponiamo, di voler convertire il numero decimale periodico 0.(3) in una frazione. Consideriamo questo decimale nella forma piu naturale:

. Questa é la progressione geometrica infinitamente decrescente con il primo termine 3/10 e il rapporto comune q = 1/10. Secondo la formula sopra riportata l'ultima somma é uguale a: