In generale, un tetraedro è un poliedro con quattro lati.

Se tutte le facce sono congruenti, il tetraedro è detto tetraedro isoscele. Se tutte le facce sono congruenti a un triangolo equilatero, allora il tetraedro è conosciuto come tetraedro regolare.

Un tetraedro generale (non necessariamente regolare), è definito poliedro convesso e costituito da quattro facce triangolari (non necessariamente identiche) , può essere specificato da i vertici di un poliedro come (x_i,y_i,z_i), dove i=1, ..., 4. Allora il volume del tetraedro è dato da

 V=1/(3!)|x_1 y_1 z_1 1; x_2 y_2 z_2 1; x_3 y_3 z_3 1; x_4 y_4 z_4 1|.
(1)

Specificando il tetraedro con i tre vettori lato a, b, e c da un vertice poliedro dato, il volume è

 V=1/(3!)|a·(bxc)|.
(2)

Se il lato tra i vertici i e j è di lunghezza d_(ij), allora il volume V è dato dal determinante di Cayley-Menger

 288V^2=|0 1 1 1 1; 1 0 d_(12)^2 d_(13)^2 d_(14)^2; 1 d_(21)^2 0 d_(23)^2 d_(24)^2; 1 d_(31)^2 d_(32)^2 0 d_(34)^2; 1 d_(41)^2 d_(42)^2 d_(43)^2 0|.
(3)

Si consideri un tetraedro arbitrario A_1A_2A_3A_4 con triangoli T_1=DeltaA_2A_3A_4, T_2=DeltaA_1A_3A_4, T_3=DeltaA_1A_2A_4, e T_4=DeltaA_1A_2A_3. Siano le aree di questi triangoli s_1, s_2, s_3, s s_4, rispettivamente, e denotano l'angolo diedro rispetto a T_i e T_j per i!=j=1,2,3,4 da theta_(ij). Allora le aree delle quattro facce sono connesse da

 s_k^2=sum_(j!=k; 1<=j<=4)s_j^2-2sum_(i,j!=k; 1<=i,j<=4)s_is_jcostheta_(ij)
(4)

coinvolge sei angoli diedri (Dostor 1905, pp. 252-293; Lee 1997). È una generalizzazione della legge dei coseni di un tetraedro. Inoltre, per ogni i!=j=1,2,3,4,

 V=2/(3l_(ij))s_is_jsintheta_(ij),
(5)

dove l_(ij) è la lunghezza del lato comune di T_i e T_j (Lee 1997).

Dato un tetraedro ad angolo retto tetraedro con una cuspide dove tutti i lati sono ortogonali e dove la faccia è di fronte a questa cuspide è denotato s_k, allora

 s_k^2=sum_(j!=k; 1<=j<=4)s_j^2.
(6)

Questa è una generalizzazione del teorema di Pitagora che si applica anche ai più alti simplessi dimensionali (F. M. Jackson, pers. comm., Feb. 20, 2006).

Sia A l'insieme dei lati di un tetraedro e P(A) l'insieme potenza di A. Scriviamo t^_ per il complemento in A di un elemento t in P(A). Sia F l'insieme di triple {x,y,z} in P(A) tali che x,y,z coprono una faccia del tetraedro, e sia G l'insieme di (e intersection f) union (e union f^_) in P(A), affinché e,f in F e e!=f. In G, ci sono pertanto tre elementi che sono le coppie di lati opposti. Ora definiamo D, che associa ad un lato x di lunghezza L la quantità (L/RadicalBox[1, 3]2)^2, p, che associa a un elemento t in P(A) il prodotto di D(x) per ogni x in t, e s, che associa a t la somma di D(x) per ogni x in t. Allora il volume di un tetraedro è dato da

 sqrt(sum_(t in G)(s(t^_)-s(t))p(t)-sum_(t in F)p(t))
(7)

(P. Kaeser, pers. comm.).

Ci sono un certo numero di teoremi interessanti sulle proprietà di un tetraedro (cioè non necessariamente regolare) generale (Altshiller-Court 1979). Se un piano divide due lati opposti di un tetraedro in un dato rapporto, allora divide il volume del tetraedro nello stesso rapporto (Altshiller-Court 1979, p. 89). Ne consegue che qualsiasi piano passante per una mediana del tetraedro biseca il volume del tetraedro (Altshiller-Court 1979, p. 90).

Siano i vertici di un tetraedro denotati A, B, C, e D, e denota la lunghezza dei lati BC=a, CA=b, AB=c, DA=a^', DB=b^', e DC=c^'. Allora se Delta denota l'area del triangolo con i lati di lunghezza aa^', bb^', e cc^', il volume e il circumraggio del tetraedro sono legati dalla formula

 6RV=Delta
(8)

(Crelle 1821, p. 117; von Staudt 1860; Rouché e Comberousse 1922, pp. 568-576 e 643-664; Altshiller-Court 1979, p. 249).

Sia Delta_i l'area del triangolo sferico formato dalla iesima faccia di un tetraedro in una sfera di raggio R, e sia epsilon_i sia l'angolo sotteso dal lato i. Allora

 sum_(i=1)^4Delta_i=[2(sum_(i=1)^6epsilon_i)-4pi]R^2,
(9)

come dimostrato da J.-P. Gua de Malves nel 1740 o 1783 (Hopf 1940). La formula qui sopra fornisce i mezzi per calcolare l'angolo solido sotteso dal vertice di un tetraedro regolare sostituendo epsilon_i=cos^(-1)(1/3) (l'angolo diedro). Di conseguenza,

 Omega=(Delta_i)/(R^2)=3cos^(-1)(1/3)-pi,
(10)

o circa 0.55129 steradianti.