En mathématiques, une suite (parfois appelée séquence) est une famille d'éléments indexée par les entiers naturels. Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble E, cette suite peut être assimilée à une application de N dans E.
On note une suite (un)
Définition d'une suite arithmétique : Une
suite arithmétique est une suite dans laquelle chaque terme permet de
déduire le suivant en lui ajoutant une constante r, appelée la raison.
u n + 1 = u n + r .
Théorème : Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et p on a :
u n = u 0 + nr et plus généralement u n = u p + (n - p). r
(u0 est le terme initial et le nombre un est appelé terme général de la suite).
Exemple : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13... est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1
2, 5, 8, 11, 14, 17, ... est une suite de raison 3 et de premier terme 2
1, 4, 9, 16, 25, ... , n² , ... ;
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... , 1/n , ... .
La somme des premiers termes d'une suite arithmétique :
Exemple : trouvez la somme des 100 premiers nombres impairs.
Solution : On utilise la formule précédente et celle indiquant que u n = u 0 + nr:
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique :
Si ou
(ou n'importe quel autre corps commutatif) et si
est une suite géométrique de raison q de
alors, pour tout
et pour tout
:
ou plus simplement (somme des premiers termes) :
Dans
Exemple : Trouver la somme de la suite géométrique infiniment décroissante :
Solution : On utilise la formule précédente. b1= 1, q = 1/2. Donc
Ecrire sous forme de fraction un nombre décimal On veut écrire le nombre décimal 0.3333 - que l'on notera 0.(3) - sous forme de fraction.
C'est une suite géométrique infiniment décroissante qui a pour premier terme 3/10 et pour raison q = 1/10. Selon la formule précédente :
3/10 3/10 3 1et 0.3333 = 1/3