Consideriamo una curva parametrica data da
x = f(t),
y = g(t)
in t per ogni intervallo I, dove f e g sono funzioni continue.
Consideriamo
anche un punto (x0,y0) che
si trova su questa curva, quindi x0 = f(t0) e y0 = g(t0) per
qualche t0.Con un po di fortuna, esiste un intorno di questo punto sul quale la
curva può essere descritta usando la funzioney = y(x). Nella sezione funzioni parametriche in Funzioni - Teoria abbiamo un teorema che ha sufficienti condizioni perchè questo accada. Questa condizione è che f '(t0) 0.
Questa condizione significa che f si incrementa o decrementa in t0,therefore at that time the curve moves left or right as it passes through the given point. Il teorema dice che siamo in grado di descrivere la curva usando una funzione. Possiamo immaginare che questa funzione f è effettivamente 1-1 around the given time, pertanto possiamo trovare la sua funzione inversa t = f-1(x) e utilizzarla per eliminare t dalle equazioni. Otteniamo
y(x) = g( f-1(x)),
controllare funzioni parametriche in Funzioni - Teoria. Se si assune che f e g sono derivabili in t0, l’intera funzione destra è derivabile, inoltre anche y(x) e abbiamo anche una formula per la derivata. Diventa ancora più interessante se si usa la formula per la derivata della funzione inversa (controllare Derivate e operazioni in Teoria - Introduzione). Otteniamo il seguente teorema:
Teorema.
Consideriamo
una curva parametrica data da
x = f(t),
y = g(t) in t per ogni intervallo I.
Supponiamo che f e g siano derivabili in alcuni t0 dall’interno di I e che f '(t0) 0. Allora ci sono alcuni intorni di t0 in cui la parte corrispondente della curva può essere espressa mediante una funzione y = y(x).
Inoltre, questa funzione è erivabile in x0 = f(t0) e
abbiamo
Usiamo le funzioni f e g invece di scrivere le tradizionali x = x(t), y = y(t) per la descrizione delle coordinate. Se seguiamo il metodo tradizionale, avremmo una cosa del tipo t = x-1(x), dove la prima x è una funzione e la seconda una variabile. Ma ora abbiamo una risposta, potrebbe essere interessante per riscriverlo in termini tradizionali, ricordando che il punto indica la derivata del tempo.
E diventa ancora più interessante quando si usa Notazione di Leibniz.
Ora sembra come la cancellazione ordinaria, quindi usando ancora la notazione di Leibniz le cose sembrano più naturali.
Si noti l’interazione tra tempo e ragionamento spaziale. Siamo in grado di visualizzare la curva come un oggetto ordinario del piano, o possiamo vederla come una registrazione dei movimenti nel tempo.Quando vogliamo derivare rispetto a una coordinata x in qualche punto dello spazio, la formula si riferisce ad una espressione che include derivate temporali, naturalmente dobbiamo sostituire anche il tempo, vale a dire esattamente il momento in cui si raggiunge il punto dato. Questo è abbastanza naturale, ma può essere fonte di confusione se non si è abbastanza attenti. Quando si indaga sulle curve parametriche, è necessario tenere traccia di ciò che è spaziale e di cosa è rilevante nel tempo. Per approfondire questa regola, vedere la prossima sezione.
Teorema.
Consideriamo una curva parametrica come nel teorema precedente con tutte le proprietà elencate qui. Supponiamo inoltre che f e g siano derivabili due volte in t0.Allora la funzione y = y(x) è anch’essa derivabile due volte in x0 = f(t0) e otteniamo
Utilizzando la notazione tradizionale per una curva parametrica otteniamo
Come è possibile ottenere questo risultato?
Poi basta sostituire in x0, usiamo f-1(x0) = t0 ed è fatta.
Esempio: Consideriamo la curva parametrica
x = t·et,
y = t3 + 6t per t -1.
Dimostriamo che è un intorno di (e,7) possiamo
esprimere questa curva utilizzando una funzione e troviamo la sua derivata.
Soluzione: Il tempo corrispondente al punto dato è t0 = 1. Posiamo
vedere che (1) = 2e, che non è zero e quindi è provata l’esistenza di una funzione
y = y(x) in
un intorno di (e,7).
Per il teorema precedente abbiamo anche che
Sappiamo come derivare una descrizione locale spaziale, ora ritorniamo al problema della decomposizione di una curva in parti che sono esprimibili con funzioni. Sappiamo che modificando le equazioni parametriche in funzione avviene l’eliminazione, per la quale abbiamo bisogno della funzione x(t) che deve essere 1-1. Un modo semplice per riconoscere gli intervalli di iniettività è l’utilizzo di derivate.
Assumiamo di poter divider l’intervallo I in sottointervalli, in ciascuno dei quali esiste la derivata (t) e
non è zero; ed inoltre ha lo stesso segno. Allora in ciascuno di questi intervalli la derivata deve essere positiva o negativa,quindi x deve essere 1-1 (vedere Derivate e monotonia in Teoria - MVT). Così i pezzi della curva che corrispondono al tempo
impiegato da ciascuno di questi intervlli sono esattamente I pezziche possono essere (in linea teorica) espressi come funzioni.
Si noti che il segno della derivata (t) porta anche un'altra informazione, utile quando si studia la curva data.Quando
(t) > 0, la curva va verso destra; quando
(t) < 0, la
curva va verso sinistra. Ma questo ci porta al tema del disegno di una curva, che viene trattata nella sezione successiva.
Per una rassegna ed un esempio di curve parametriche vedere >Funzioni parametriche in Metodi di Indagine, c’è anche un esempio in Problemi Risolti Funzioni parametriche.
Bug's Life
Ora torniamo al punto di partenza. Il punto centrale di questa sezione è quello di ridurre le curve parametriche a immagini e funzioni. Siamo a buon punto, infatti nella sezione successiva impareremo a disegnare le curve parametriche. Ma ora lasciamo questo argomento e chiediamoci quale altra informazione può essere dedotta da una curva parametrica.
Dato che una curva parametrica è una registazione di movimenti, una domanda naturale riguarda la velocità istantanea in ogni punto dato. Abbiamo una formula per questo.
Come si ottiene? Si supponga che un bug sia il tempo t in un punto e poi spostiamo di un tempo dt.Nello spazio questo significa un movimento di dx e dy, ma poichè xe y sono funzioni di t,otteniamo le formule di trasformazione
dx = ·dt, dy =
·dt.
(Guardare la Notazione di Leibniz in Teoria - Introduzione). Dal momento che si è passati da un tempo infinitamente breve, la curva non ha avuto il tempo di piegarsi e possiamo pensare ad essa come una linea retta.
Così il cambiamento ds in posizione s può essere calcolato usando la regola di Pitagora:
Quando dividiamo per dt,si ottiene l’uguaglianza desiderata,in quanto la velocità è esattamente la derivata temporaledella posizione.
Possiamo saperne di più, per esempio siamo in grado di calcolare la lunghezza del percorso intrapreso,ma questo richiede una integrazione; ci riferiamo a Lunghezza della curva in Integrali - Teoria- Applicazioni. In Area in Integrali- Teoria- Applicazionitroverai come calcolare l’area della regione determinata da una curva parametrica.