Determinantes são objectos matemáticos que são muito uteis na análise e solução de sistemas de equações lineares. Como mostrado pela regra de Cramer, um sistema não homogéneo de equações lineares tem uma solução única se o determinante da matriz do sistema é diferente de zero (ou seja, a matriz é não singular). Por exemplo, eleminando , , e  das equações.

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Dá a expressão

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Qual é chamado determinante para este sistema de equação? Determinantes são definidos apenas para matrizes quadradas.

Se o determinante de uma matriz é 0, a matriz diz-se que é singular, e se o determinante é 1, diz-se que é unimodular.

O determinante de uma matriz ,

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É normalmente designado , , ou como componente em notação , , ou (Muir). Note-se que a notação  talvez mais conveniente quando indicando o valor absoluto de um determinante, ou seja.,  em vez de . O determinante é implementado no Mathematica as Det[m].

Um  determinante é definido para ser  

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Um  determinante pode ser expandido “ de menores” para obter

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O determinante geral para uma matriz  tem o valor de

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Sem adição implícita sobre  e onde (também denotado ) é o cofactor de definido por

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e é o menor da matriz  formado através da eliminação da linha  e coluna  desde . Este processo é chamado expansão determinante de menores (ou “expansão Laplacian de menores, “às vezes ainda mais encurtado para “ expansão Laplacian”).

Um factor determinante, também pode ser calculado para anotar todas as permutações de , tendo cada permutação os subscritos das letras , , ..., e somar os sinais com determinados pelo , onde  é o número de inversões de permutação por permutação  (Muir 1960, p. 16), e é o símbolo de permutação. 

Por exemplo, com , as permutações e o número de inversões que eles contêm são 123 (0), 132 (1), 213 (1), 231 (2), 312 (2), e 321 (3), de modo que o determinante é dado pelo.

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Se  é uma constante  uma   matriz quadrada, então

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Dada uma  determinante, o aditivo é inverso.

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Determinantes também são distributivos, então

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Isto significa que o determinante de uma matriz inversa pode ser encontrado como se segue:

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Onde representa a identidade da matriz, de modo

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Determinantes são multiliniares em linhas e colunas, uma vez que

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e

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O determinante da transformação da semelhança de uma matriz é igual ao determinante da matriz original

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O determinante de uma transformação da semelhança, menos um múltiplo de matriz é dado pela unidade

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O determinante de uma transposição é igual ao determinante da matriz original,

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E o determinante de um conjugado complexo é igual ao conjugado complexo do determinante

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Deixe  ser um número pequeno. Então  

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Onde  é o traço da matriz . O determinante assume uma forma particularmente simples, para uma raiz triangular

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Propriedades importantes do determinante são as seguintes, que incluem a invariância sob linha de elementares e operações de colunas.

1. Mudar duas linhas ou colunas muda o sinal.

2. Escalares podem ser levados para fora de linhas ou colunas.

3. Múltiplos de linhas e colunas podem ser adicionados em conjunto, sem alterar o valor determinante.

4. Multiplicação escalar de uma linha por uma constante multiplica o determinante pelo .

5. A determinante com uma linha ou coluna de zeros tem valor 0.

6. Qualquer determinante com duas linhas ou colunas iguais tem valor 0.

Propriedade 1 pode ser estabelecida por indução. Para uma    matriz, o determinante é

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Para uma  matriz, o determinante é

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Propriedade 2 segue o mesmo, para uma    e  matrizes,

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e

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Propriedade 3 resulta da identidade

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Se é uma  matriz com  números reais, então  tem a interpretação orientada para   - conteúdo dimensional do paralelepípedo gerado pelos vectores da coluna , ...,  em . Aqui, "orientado" significa que, se uma mudança ou  assinar, o número é o - teor de dimensões, mas o sinal depende da "orientação" dos vectores da coluna envolvidos. Se eles concordarem com o padrão de orientação, existe um sinal; caso contrário, há um  sinal. O paralelepípedo mediu pela - vectores dimensionais através  é o conjunto de pontos

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Onde  é um número real do intervalo fechado .

Hadamard mostrou que o valor absoluto do determinante de um complexo  matriz com entradas não satisfaz unidade de disco

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(Brenner). As parcelas acima mostram a distribuição dos determinantes aleatoriamente  matrizes complexas com entradas satisfaz  para , 3, e 4.