Definições

Formalmente, a derivada da função f em que o limite do quociente da diferença como o h se aproxima de zero, se esse limite existe.

Se o limite existe, então f é diferenciável de.

No cálculo, o diferencial representa a parte principal da mudança na função y = ƒ(x) no que diz respeito a mudanças na variável independente. O diferencial dy é definido pela

Onde é o derivado de ƒ em relação a x, e dx é uma variável real adicional (de modo que dy é uma função de x e dx). A notação é como a equação.

Mantem-se, onde o derivado é representado na notação Leibniz dy/dx, e isto é consistente em relação ao derivado pelo quociente dos diferenciais. Também se escreve

O significado preciso das variáveis dy e dx depende do contexto da aplicação e o nível de rigor matemático. O domínio destas variáveis pode assumir um determinado significado geométrico se o diferencial é considerado como uma forma especial diferencial ou significância analítica se o diferencial é considerado uma aproximação linear pelo incremento da função. Em aplicações físicas as variáveis dx e dy são muitas vezes obrigadas a ser muito pequenas. ("infinitesimal").

Notações

Regras de Derivados

A Regra Constante
O derivado de uma função constante é 0. Isto é, se c é um número real, então d/dx[c] = 0.

A Soma e as Regras de Diferença
A soma (ou diferença) de duas funções diferenciáveis é diferencial é a soma (ou diferença) de seus derivados.

d/dx[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)
d/dx[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)

A Regra do Múltiplo da Constante
Se f for uma função diferencial e c um número real, então cf também é diferenciável e d/dx[cf(x)] = cf'(x)

A Regra da Potência
Se n é um número racional, a função f (x) = xn é diferenciável e d/dx[xn] = nxn-1


A Regra do Produto

O produto de duas funções diferenciáveis, f e g, são em si diferenciáveis. Além disso, o derivado de fg é a primeira função vezes a derivada da segunda, mais a segunda função vezes a derivada da primeira.

d/dx[f(x)g(x)] = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)


A Regra do Quociente
O quociente f/g, de duas funções diferenciáveis, f e g, é em si diferenciável em todos os valores de x para os quais g (x) não é = 0. Além disso, o derivado de f/g é dado pelo tempo do denominador o derivado do numerador menos vezes o numerador do derivado do denominador divididos pelo quadrado do denominador.

d/dx[ f(x)/g(x) ] = (g(x)f'(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]2    g(x) does not = 0

A Regra da Cadeia
Se y = f (u) é uma função diferenciável de u e u = g(x) é uma função diferenciável de x, então y = f(g(x)) é uma função diferenciável de  x e d/dx[f(g(x))] = f'(g(x))g'(x)

A Regra da Potência em Geral
Se y = [u(x)]n, onde u é uma função diferenciável de x e n é um número racional, depois  d/dx = [un] = nun-1u'.