L'inversa di una matrice quadrata A, a volte chiamata anche matrice reciproca, è una matrice A^(-1) tale che

 AA^(-1)=I,
(1)

dove I è la matrice identica. Courant e Hilbert (1989, p. 10) utilizzano la notazione A^_ per denotare la matrice inversa.

Una matrice quadrata A ha inversa se il determinante |A|!=0 (Lipschutz 1991, p. 45). Una matrice che ha inversa è chiamata non singolare o invertibile.

La matrice inversa di una matrice quadrata m può essere ottenuta in Mathematica usando la funzione Inversa[m].

Per una matrice 2×2

 A=[a b; c d],
(2)

la matrice inversa è data da

A^(-1)=1/(|A|)[d -b; -c a]
(3)
=1/(ad-bc)[d -b; -c a].
(4)

Per una matrice 3×3

 A=[a_(11) a_(12) a_(13); a_(21) a_(22) a_(23); a_(31) a_(32) a_(33)],
(5)

la matrice inversa è data da

 A^(-1)=1/(|A|)[|a_(22) a_(23); a_(32) a_(33)| |a_(13) a_(12); a_(33) a_(32)| |a_(12) a_(13); a_(22) a_(23)|;   ; |a_(23) a_(21); a_(33) a_(31)| |a_(11) a_(13); a_(31) a_(33)| |a_(13) a_(11); a_(23) a_(21)|;   ; |a_(21) a_(22); a_(31) a_(32)| |a_(12) a_(11); a_(32) a_(31)| |a_(11) a_(12); a_(21) a_(22)|].
(6)

In generale una matrice n×n può essere invertita utilizzando vari metodi come quello di Gauss-Jordan, eliminazione di Gauss, o decomposizione LU.

L'inversa del prodotto AB di matrici A e B può essere espressa in termini di A^(-1) e B^(-1). Quindi

 C=AB.
(7)

Allora

 B=A^(-1)AB=A^(-1)C
(8)

e

 A=ABB^(-1)=CB^(-1).
(9)

Pertanto,

 C=AB=(CB^(-1))(A^(-1)C)=CB^(-1)A^(-1)C,
(10)

così

 CB^(-1)A^(-1)=I,
(11)

dove I è la matrice identità, e

 B^(-1)A^(-1)=C^(-1)=(AB)^(-1).
(12)