Introduction

Les équations linéaires sont des équations de la forme  a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, où a1...an sont des constantes appelées coefficients, x1...xn sont les inconnues, et b est le terme constant. Cette équation est une équation linéaire à n variables. Les inconnues sont souvent appelées x, y, z, etc. Les équations linéaires n'impliquent que des variables de degré 1 (pas d'exposant ni de racine des variable) ; les inconnues sont additionnées, soustraites ou/et multipliées par des constantes ; il n'y a pas de produit d'inconnues.

Les équations suivantes sont linéaires :

Ces équations ne sont PAS linéaires :

Une solution d'une équation linéaire est un vecteur composé des valeurs [s1,...,sn], où x1 =s1,..., xn =sn vérifie l'équation. 

Une équation à une seule inconnue (par exemple, 2x = 6) a une unique solution (un point sur l'axe des réels, dans notre exemple, x = 6). 

Une équation linéaire à deux inconnues a des solutions qui géométriquement forment une ligne dans le plan.  

Une équation linéaire à trois inconnues a des solutions qui, géométriquement, forment un plan.

Pour les équations linéaires ayant davantage d'inconnues, les interprétations géométriques ne sont pas aussi claires, mais elles ont néanmoins un ensemble infini de solutions. 

Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires portant sur les mêmes inconnues. Résoudre le système revient à trouver une solution commune à toutes les équations du système. Il existe trois possibilités : 

1) Le système a une solution unique 
2) Le système a une infinité de solutions
3) Le système n'a pas de solution

Graphiquement, une solution peut s'interpréter comme le point où s'intersectent les diverses courbes, plans, etc définis par les équations du système. On a une infinité de solutions lorsque les équations définissent des lignes ou/et des plans dont l'intersection est une ligne ou un plan (exemple de l'intersection de deux plans ou deux lignes confondues). Un système sans solution s'interprète géométriquement par des lignes et/ou des plans qui ne s'intersectent jamais (exemple de lignes parallèles dans le plan ou de lignes parallèles ou plans dans un espace à 3 dimensions).

Notations 

En général, un système de m équations linéaires à n inconnues s'écrit : 


où     sont les inconnues et     les coefficients 

Un système d'équations linéaires peut aussi s'écrire sous la forme matricielle    avec: 

Méthodes de résolution 

Face à un système d'équations linéaires, se pose souvent le problème de sa résolution. Ici, nous présentons plusieurs méthodes de résolution ainsi que quelques théorèmes et définitions. Résoudre ces systèmes demande de la pratique, donc plusieurs exemples seront fournis.

Résolution par substitution

La méthode de résolution par substitution est l'une des plus simples manières de résoudre un système d'équations linéaires. Plus formellement on effectue les opérations suivantes: 

Etape 1: choisir une inconnue (par exemple x) et l'exprimer en fonction des deux autres; 

Etape 2 : remplacer (substituer) cette inconnue par son expression dans le système; 

Etape 3 : développer, réarranger les termes, séparer les inconnues et nombres;

Recommencer avec une autre inconnue jusqu'à ce que le système soit complètement résolu.

Exemple : Résoudre le système suivant par substitution :

On calcule z grâce à la troisième équation (en divisant chaque membre de l’égalité par 3) et on trouve z = 4

On remplace z par sa valeur dans la seconde équation et on trouve ainsi la valeur de y

Pour finir, on remplace z et y par leurs valeurs dans la première équation pour trouver

Donc le système a pour solution le point

Si le système d'équation est tel qu'on ne puisse pas immédiatement procéder à la substitution, on peut modifier le système en procédant à des opérations élémentaires sur les lignes. Ainsi, si l'on appelle R1 la première ligne, R2 la seconde, etc, et k une constante, les trois opérations élémentaires possibles sont : 

1)échanger deux lignes (équations) : R1↔R2
2) multiplier une ligne par une constante non nulle : kR1
3) ajouter un multiple d'une ligne à une autre ligne : R1 + kR2

Exemple   .

 .

Pour résoudre ce système de 3 équations à 3 inconnues, on isole une inconnue dans une des équations. Dans ce système, on isole l'inconnue x dans l'équation [1]

[1] :  .

Maintenant on remplace l'inconnue   dans les équations [2] et [3], qui donne un système de 2 équations à 2 inconnues à résoudre avec les méthodes de substitution ou d'addition.

 .

Après avoir trouvé   et  , on les remplace dans l'équation [1] pour trouver  .

Cette méthode se généralise à des systèmes comportant davantage d'équations et davantage d'inconnues et prend le nom de méthode du pivot de Gauss.


Matrice augmentée

En introduisant le concept de matrice augmentée,on peut simplifier notre travail sur le système et combiner les opérations élémentaires sur les lignes et la substitution pour définir une autre méthode de résolution de systèmes d'équations linéaires.

(Si vous n'êtes pas à l'aise avec les matrices, vous pouvez consulter le didacticiel sur le sujet). 

Définition : Soit A et B deux matrices ayant le même nombre de lignes, on appelle matrice augmentée la matrice formée des deux blocs A et B. De même si A et B sont deux matrices ayant le même nombre de colonnes, on appelle matrice augmentée la matrice formée des deux blocs A et B : 

Donc la matrice augmentée d’un système de n équations à n inconnues a donc n lignes et (n+1) colonnes. Généralement, on la note (A|B).

Exemple: Soit le système 

La matrice augmentée est :  

Méthode de l'élimination de Gauss

La méthode de Gauss pour résoudre un système d'équations linéaires consiste à 
1)écrire le système d'équations linéaires sous forme de matrice augmentée
2) transformer la matrice augmentée en une matrice augmentée en échelon. 
3)utiliser la méthode de substitution pour résoudre le système

Une matrice est dite échelonnée en lignes si le nombre de zéros précédant la première valeur non nulle d'une ligne augmente ligne par ligne jusqu'à ce qu'il ne reste plus que des zéros.

Voici un exemple de matrice échelonnée (les * désignent des coefficients arbitraires, les   des pivots, coefficients non nuls) :

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Exemples de matrice augmentée en échelon : 

Prenons le système suivant et suivons les étapes de l'élimination de Gauss : 

On met le système sous forme de matrice augmentée

On exécute des opérations élémentaires sur les lignes de ce système jusqu'à obtenir une matrice échelonnée. 

   

On utilise ensuite la méthode de substitution en commençant par la dernière ligne du système.

La solution du système est donc   

Résolution d'un système par l'algorithme de Gauss-Jordan 

On peut améliorer la méthode précédente en ajoutant une autre condition à l'élimination Gaussienne. L'élimination de Gauss-Jordan implique les mêmes que la méthode de Gauss, sauf que l'on va plus loin :  on transforme la matrice échelonnée en matrice réduite de Gauss-Jordan, c'est à dire : 

1)le premier élément non nul de chaque ligne de la matrice des coefficients est 1

2)Cet élément 1 doit être le seul  élément non nul de la colonne où il se trouve

(Avec cette méthode, on évite l'étape de la substitution utilisée précédemment.)

Exemple: 

Soit le système d'équations suivant :

On établit la matrice correspondante et on applique la 1ère étape de Gauss-Jordan, le pivot est 1 :

On ajoute un multiple de la première ligne aux deux autres lignes pour obtenir des zéros (respectivement   et  ) le nouveau pivot est ensuite 5 :

La deuxième ligne est multipliée par 1/5 :

On ajoute cette deuxième ligne à la troisième et à la première, le nouveau pivot est -7 :

On divise la 3e ligne par -7 :

On utilise la 3e ligne pour éliminer des coefficients dans la première et deuxième ligne. Nous sommes alors en présence d'une forme échelonnée réduite avec la matrice identité d'un côté et la valeur des variables de l'autre :

La solution du système est ainsi :