Математическое ожидание и дисперсия

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?
Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию Mx. В данном случае Mx = 3,5.
Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях раз выпало 1 очко, раз – 2 очка и так далее. Тогда
При N → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко, Аналогично, Отсюда
Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x, то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x1, x2, ..., xk с вероятностями p1, p2, ..., pk.
Математическое ожидание Mx случайной величины x равно

Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как <x>. Записи <x> и Mx эквивалентны.

Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
Используя вероятности pi того, что величина x принимает значения xi, эту формулу можно переписать следующим образом: