Em geral, um tetraedro é um poliedro com quatro lados.
Se todas as faces são congruentes,
do tetraedro é conhecido como um tetraedro
isósceles. Se todas as faces são congruentes para um triângulo equilátero,
em seguida, o tetraedro é conhecido como um tetraedro regular (embora o termo “tetraedro” sem qualificação é
muitas vezes usado para significar “tetraedro regular”). Um tetraedro tem um
triedro em todos os ângulos do rosto que são ângulos retos é conhecido como um tetraedro trirectangular.
Em geral (não necessariamente
regular) tetraedro, definido como um poliedro convexo consistindo de quatro (e
não necessariamente idênticas) faces triangulares podem ser especificadas pelos
seus vértices como poliedro , onde
,
..., 4. Então o volume do tetraedro é
dado por
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(1) |
Especificando o tetraedro pelos três
vectores de ponta poliedro ,
,
e
a partir de um determinado poliedro vértice, o
volume é
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(2)
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Se a aresta entre os vértices e
é de comprimento
, então, o volume
é dado pelo determinante Cayley-Menger.
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(3)
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Considere um tetraedro arbitrário Com triângulos
,
,
, e
. Deixe que as áreas desses triângulos sejam
,
,
,
e
,
Respectivamente, e indique o angulo diedro com respeito ao
e
para
por
. Então, os quarto domínios estão ligados por cara.
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(4)
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Envolvendo os seis ângulos diedros
(Dostor, Lee). Esta é uma generalização da lei dos cossenos para o tetraedro.
Além disso, para qualquer ,
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(5) |
Onde é o comprimento da aresta comum de
e
(Lee
1997).
Dado um tetraedro rectângulo com um
ápice, onde todas as arestas se encontram ortogonalmente e onde a face oposta
este ápice é denotado ,
Então.
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(6)
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Esta é uma generalização do teorema
de Pitágoras, que também se aplica aos símplices de dimensões superiores
(F. M. Jackson).
Deixe Sendo o conjunto de arestas de um tetraedro e
o conjunto da potência
.
Escreva
para o complement em
de um elemento
. Deixe
sendo o conjunto de triplos
de tal modo que
abrange uma face do tetraedro, e deixe
o
conjunto de
, de modo que
e
.
Em
,
existem, portanto, três elementos que são os pares de arestas opostas. Agora
defina
,
que associa a uma vantagem
de comprimento
a quantidade
,
,
que associa um elemento
o produto de
para todos
, e
,
que associa à soma de
para
todos l
. Então o volume de um tetraedro é dado pela
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(7)
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(P. Kaeser).
O análogo de problema círculo Gauss
pode ser solicitado tetraedros: quantos pontos de rede se encontram dentro de
um tetraedro centrada na origem com um dado raio. (Lehmer, Granville, Xu e Yau, Guy).
Há um número de teoremas
interessantes e inesperados sobre as propriedades em geral (ou seja, não
necessariamente regulares) tetraedro (Altshiller-Court). Se um plano divide
duas arestas opostas de um tetraedro numa determinada proporção, e depois
divide-se o volume do tetraedro na mesma proporção (Altshiller-Court). Pode-se
concluir que qualquer plano que passa através de uma mediana de um tetraedro
corta o volume do tetraedro (Altshiller-Court).
Deixe os vértices de um tetraedro
serem denotados ,
,
,
e
,
e denote os comprimentos laterais
,
,
,
,
, e
. Então, se
indica
a área do triângulo com lados de comprimento
,
,
e
,
o raio do volume do tetraedro e circunstâncias estão relacionadas coma a bonita
fórmula.
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(8)
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(Crelle; von
Staudt; Rouché e Comberousse; Altshiller-Court).
Deixe ser a área do
triângulo esférico formado por
a face de um tetraedro em uma esfera de raio
,
e deixe
ser o ângulo
subtendido pela aresta
.
Então
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(9)
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Como mostrado por J.-P. Gua de
Malves. A fórmula acima fornece os meios para o cálculo do ângulo sólido
subtendido por o vértice de um tetraedro regular substituindo (o ângulo diedro). Consequentemente,
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(10) |
Aproximadamente
0.55129 esterradianos.