Addition et soustraction de vecteurs, multiplication d’un vecteur par un scalaire

1.Addition de vecteurs

 Additionner des vecteurs revient à additionner chacune des composantes

Géométriquement,pour construire la somme de deux vecteurs non nuls   et    :

1)on trace le représentant de v partant de l’extrémité de

2)on joint l’origine de     avec l’extrémité du représentant de     que l’on vient de tracer. On obtient alors un représentant de   +    

Propriétés de la somme vectorielle

Exemple 1: Pour additionner   = [3,1] et    = [2,5], on additionne les coordonnées x ensemble, et les y ensemble :

Exemple 2 : Additionner   = [2,1],    = [4,4], et   = [1, 3]

Le résultat est [7, 8] (résultat que l’on retrouve aussi graphiquement)

Exemple 3 : Additionner   = [3,1,-2] et    = [4,0,3].

Le résultat est   = [3 + 4, 1 + 0, (-2) + 3] = [7,1,1].

Quand on additionne des vecteurs dans Rn, on additionne simplement leurs composantes.

Siu=[u1, u2,..., un] et v=[v1, v2, ..., vn], alors u + v=[u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn]

2.Soustraction de vecteurs

Commençons par revenir sur la notion d’opposé d’un vecteur.

Définition :L’opposé du vecteur   est le vecteur   tel que   +  =

  et   ont même direction et norme mais sont de sens contraire. 

L’opposé du vecteur   est le vecteur

Définition :   et   sont deux vecteurs. Soustraire le vecteur   au vecteur   , c’est ajouter à   l’opposé de   En clair,

Exemple :Prenons   =[2,3] et   =[4,1]. Que vaut   -   ? On utilise la définition précédente et change le signe de toutes les coordonnées de   Puisque   = [4,1], -   = [ - 4 ,- 1], donc   (-   = [2 + (-4), 3 + (-1)] = [2-4, 3-1] = [-2, 2]. Donc   -   = [-2 , 2]. Géométriquement:

Exemple : Si u=[2, -3, 0, 4] dans R4, alors –u =[-2, 3, 0, -4].

Remarque : Puisque la formule calculant la norme d’un vecteur implique de mettre au carré chaque coordonnée, on a   .

Comme pour l’addition de vecteurs, les vecteurs doivent tous avoir le même nombre de coordonnées.

3. Multiplication d’un vecteur par un scalaire

Le produit d'un vecteur    par un scalaire α est un vecteur, noté α  , tel que :

De même, dans Rn , soit   = [u1, u2, ..., un], multiplier ce vecteur par k, un scalaire nous donne k  = [ku1, ku2, ..., kun]

Remarque : (-1)   = -

Propriétés

1) u + v = v + u
2) u + (v + w) = (u + v) + w
3) u - v = u + (-v)
4) k(u + v) = ku + kv
5) Si a et b sont des scalaires, alors a(bu) = (ab)u = (ba)u
6) (a + b)u = au + bu
7) |ku| = |k||u|
8) u - u = u + (-u) = 0 (le vecteur zéro)

Autre fait important : |u + v| ≤ |u| + |v|