1.Addition de vecteurs
Additionner des vecteurs revient à additionner chacune des composantes
Géométriquement,pour construire la somme de deux vecteurs non nuls
et
:
1)on trace le représentant de v partant de l’extrémité de
2)on joint l’origine de
avec l’extrémité du représentant de
que l’on vient de tracer. On obtient alors un représentant de
+
Propriétés de la somme vectorielle
Commutativité : u + v = v + u
Exemple 1: Pour additionner
= [3,1] et
=
[2,5], on additionne les coordonnées x ensemble, et les y ensemble :
Exemple 2 : Additionner
= [2,1],
=
[4,4], et
= [1, 3]
Le résultat est [7, 8] (résultat que l’on retrouve aussi
graphiquement)
Exemple 3 :
Additionner
= [3,1,-2] et
=
[4,0,3].
Le résultat est
= [3 + 4, 1 + 0, (-2) + 3] = [7,1,1].
Quand on additionne des vecteurs dans Rn, on additionne simplement leurs composantes.
Siu=[u1, u2,..., un] et v=[v1, v2, ..., vn], alors u + v=[u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn]
2.Soustraction de vecteurs
Commençons par revenir sur la notion d’opposé d’un vecteur.
Définition :L’opposé
du vecteur
est le vecteur
tel que
+
=
et
ont
même direction et norme mais sont de sens contraire.
L’opposé
du vecteur est
le vecteur
Définition :
et
sont deux vecteurs. Soustraire le vecteur
au vecteur
,
c’est ajouter à
l’opposé de
En clair,
Exemple :Prenons
=[2,3]
et
=[4,1]. Que vaut
-
?
On utilise la définition précédente et change le signe de toutes
les coordonnées de
Puisque
=
[4,1], -
=
[ - 4 ,- 1], donc
(-
= [2 + (-4), 3 + (-1)] = [2-4, 3-1] = [-2, 2]. Donc
-
=
[-2 , 2]. Géométriquement:
Exemple : Si u=[2, -3, 0, 4] dans R4, alors –u =[-2, 3, 0, -4].
Remarque :
Puisque la formule calculant la norme d’un vecteur implique de
mettre au carré chaque coordonnée, on a
.
Comme pour l’addition de vecteurs, les vecteurs doivent tous avoir le même nombre de coordonnées.
3. Multiplication d’un vecteur par un scalaire
Le
produit d'un vecteur par
un scalaire α est un vecteur, noté α
,
tel que :
Remarque :
(-1)
= -
Propriétés
1) u + v = v + uAutre fait important : |u + v| ≤ |u| + |v|