Definições
Formalmente, a derivada da função f
em que o limite do quociente da diferença como o h se aproxima de zero, se esse
limite existe.
Se o limite existe, então f é
diferenciável de.
No cálculo, o diferencial representa
a parte principal da mudança na função y = ƒ(x) no que diz respeito a mudanças
na variável independente. O diferencial dy é definido pela
Onde
Mantem-se, onde o derivado é
representado na notação Leibniz dy/dx, e isto é consistente em relação ao
derivado pelo quociente dos diferenciais. Também se escreve
O significado preciso das variáveis
dy e dx depende do contexto da aplicação e o nível de rigor matemático. O
domínio destas variáveis pode assumir um determinado significado geométrico se
o diferencial é considerado como uma forma especial diferencial ou
significância analítica se o diferencial é considerado uma aproximação linear pelo
incremento da função. Em aplicações físicas as variáveis dx e dy são muitas
vezes obrigadas a ser muito pequenas. ("infinitesimal").
Notações
Regras
de Derivados
A Regra Constante
O derivado de uma função constante é 0. Isto é, se c é um número real, então d/dx[c]
= 0.
A Soma e as Regras de Diferença
A soma (ou diferença) de duas funções diferenciáveis é diferencial é a soma (ou
diferença) de seus derivados.
d/dx[f(x)
+ g(x)] = f'(x) + g'(x)
d/dx[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)
A Regra do Múltiplo da Constante
Se f for uma função diferencial e c um número real, então cf também é
diferenciável e d/dx[cf(x)] = cf'(x)
A Regra da Potência
Se n é um número racional, a função f (x) = xn é diferenciável e d/dx[xn]
= nxn-1
A Regra do Produto
O produto de duas funções diferenciáveis, f e g, são em si diferenciáveis. Além
disso, o derivado de fg é a primeira função vezes a derivada da segunda, mais a
segunda função vezes a derivada da primeira.
d/dx[f(x)g(x)] = f(x)g'(x) +
g(x)f'(x)
A Regra do Quociente
O quociente f/g, de duas funções diferenciáveis, f e g, é em si diferenciável
em todos os valores de x para os quais g (x) não é = 0. Além disso, o derivado
de f/g é dado pelo tempo do denominador o derivado do numerador menos vezes o
numerador do derivado do denominador divididos pelo quadrado do denominador.
d/dx[ f(x)/g(x) ] =
(g(x)f'(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]2 g(x) does not = 0
A Regra da Cadeia
Se y = f (u) é uma função diferenciável de u e u = g(x) é uma função
diferenciável de x, então y = f(g(x)) é uma função diferenciável de x e d/dx[f(g(x))] = f'(g(x))g'(x)
A Regra da Potência em Geral
Se y = [u(x)]n, onde u é uma função diferenciável de x e n é um
número racional, depois d/dx = [un]
= nun-1u'.