Le calcul du déterminant d'une matrice est un outil fort utile : il permet par exemple de vérifier qu'une matrice est inversible ou de calculer son inverse. Il sert aussi dans l'analyse et la solution de systèmes d'équations linéaires : grâce à la Règle de Cramer, on sait qu'un système d'équations linéaires ayant autant d'équations que d'inconnues a une unique solution si le déterminant de la matrice de coefficients est non nul (cad, la matrice est non singulière).
Par exemple, le fait d'éliminer ,
, et
des équations
![]() | ![]() | ![]() |
(1)
|
![]() | ![]() | ![]() |
(2)
|
![]() | ![]() | ![]() |
(3)
|
nous donne l'expression
![]() |
(4)
|
qui est appelée le déterminant de ce système d'équations.
Les déterminants ne sont définis que pour des matrices carrées.
Si le déterminant d'une matrice vaut 0, la matrice est dite singulière (elle est régulière dans le cas contraire), et si le déterminant est égal à 1, la matrice est dite unimodulaire.
Le déterminant d'une matrice ,
![]() |
(5)
|
se note ,
,
,
, ou encore
(Muir 1960). La notation
est la plus pratique lorsque l'on parle de la valeur absolue d'un déterminant, c'est à dire
au lieu de
.
Le déterminant d'une matrice 2x2 se définit comme suit :
![]() |
(6)
|
Le déterminant d'une matrice se définit comme suit :
![]() |
(7)
|
Et en généralisant, le déterminant de la matrice A :
![]() |
(8)
|
où la somme ne s'applique pas à j et où (que l'on peut aussi noter
) est le cofacteur de
défini par :
![]() |
(9)
|
et est le mineur de la matrice
obtenu en supprimant la ligne
et la colonne
de
. Ce procédé s'appelle le développement du déterminant par la méthode des mineurs (ou "Développement de Laplace").
On peut aussi calculer le déterminant d'une matrice au moyen des permutations en algèbre linéaire. En effet, il existe le théorème suivant :
où est le signe de
.
Par exemple, avec , les permutations et le nombre d'inversions qu'elles contiennent sont 123 (0), 132 (1), 213 (1), 231 (2), 312 (2), et 321
(3), donc le déterminant s'obtient ainsi :
![]() |
(10)
|
Si est une constante et
est une matrice carrée
, alors :
![]() |
(11)
|
Pour le déterminant d'une matrice , l'opposé est
![]() |
(12)
|
Les déterminants sont aussi distributifs, donc :
![]() |
(13)
|
Ceci signifie que le déterminant d'une matrice inverse peut se calculer ainsi :
![]() |
(14)
|
où est la matrice identité, donc
![]() |
(15)
|
Les déterminants sont multilinéaires par rapport aux lignes et aux colonnes, puisque :
![]() |
(16)
|
et
![]() |
(17)
|
Le determinant d'une matrice de transformation similaire est égal au déterminant de la matrice d'origine.
![]() | ![]() | ![]() |
(18)
|
![]() | ![]() | ![]() |
(19)
|
![]() | ![]() | ![]() |
(20)
|
Le déterminant d'une transformation similaire moins un multiple de la matrice identité est donné par la formule :
![]() | ![]() | ![]() |
(21)
|
![]() | ![]() | ![]() |
(22)
|
![]() | ![]() | ![]() |
(23)
|
![]() | ![]() | ![]() |
(24)
|
Le déterminant d'une matrice et de sa transposée sont égaux,
![]() |
(25)
|
et le déterminant d'un complexe conjugué est égal au complexe conjugué du déterminant
![]() |
(26)
|
Soit un nombre infiniment petit, alors
![]() |
(27)
|
où est la trace de la matrice
. Le déterminant prend une forme particulièrement simple pour une matrice triangulaire :
![]() |
(28)
|
Propriétés importantes du déterminant :
1. Permuter deux lignes ou colonnes d'une matrice change le signe du déterminant.
2. Si on multiplie une ligne (ou colonne) de la matrice M par le scalaire , le déterminant de la matrice obtenue est égal à
fois le déterminant de la matrice.
3. Les multiples des lignes et colonnes peuvent être additionnées sans changer la valeur du déterminant.
4. Si on multiplie une colonne de la matrice M par le scalaire , le déterminant de la matrice obtenue est égal à
fois le déterminant de la matrice M.
6. Si deux lignes ou colonnes de M sont égales, le déterminant est égal 0.
La 1ère propriété se démontre par induction. Pour une matrice , le déterminant vaut
![]() | ![]() | ![]() |
(29)
|
![]() | ![]() | ![]() |
(30)
|
![]() | ![]() | ![]() |
(31)
|
Pour une matrice , le déterminant vaut
![]() |
(32)
|
Pour la 2ème propriété : pour des matrices de type et
,
![]() | ![]() | ![]() |
(33)
|
![]() | ![]() | ![]() |
(34)
|
et
![]() | ![]() | ![]() |
(35)
|
![]() | ![]() | ![]() |
(36)
|
La 3ème propriété découle de l'égalité suivante
![]() |
(37)
|
Si est une matrice
où
sont des réels, alors
a pour représentation le volume orienté du parallélépipède construit sur les vecteurs
, ...,
dans
.
Le parallélépipède construit sur les vecteurs ..
de dimension
est la collection de points
![]() |
(38)
|
où est un nombre réel dans l'interval fermé
.
Hadamard a démontré que la valeur absolue du déterminant de la matrice complexe de taille dont les éléments sont bornés (inclus dans le disque de rayon 1) satisfait l'équation :
![]() |
(39)
|
(Brenner). Les graphiques précédents montrent la distribution des
déterminants pour des matrices complexes aléatoires de taille dont les éléments satisfont la condition
pour
, 3, et 4.