où est la matrice carrée formée en remplaçant la kème colonne de
par le vecteur colonne
.
Si , le système
a pour unique solution :
Posons :
Le système admet une solution unique si et seulement si :
Ou plus simplement :
On peut calculer le déterminant d'une matrice de taille n à l'aide de n déterminants de matrices de taille n - 1 obtenues en enlevant à la matrice de départ une ligne et une colonne. Si A est la matrice, pour tout i et j, on note la matrice obtenue en enlevant à A sa i-ième ligne et sa j-ième colonne.
On peut alors développer le calcul du déterminant de A suivant une ligne ou une colonne.
Développement suivant la ligne i :