Permutações e combinações
Organizando
objectos
Exemplo
Quantas maneiras diferentes podem as
letras P, Q, R, S ser dispostas?
A resposta é
4! = 24.
Isto ocorre porque existem quatro
espaços a serem preenchidos: _, _, _, _
O primeiro espaço pode ser
preenchido por qualquer uma das quarto letras. O segundo espaço pode ser
preenchido por qualquer uma das restantes 3 letras. O terceiro espaço pode ser
preenchido por qualquer uma das 2 letras restantes e o espaço final deve de ser
preenchido pela letra restante, O número total de arranjos possíveis é,
portanto 4 × 3 × 2 × 1 = 4!
n! .
p! q! r! …
Exemplo
De quantas maneiras podem as letras
da palavra: ESTATÍSTICA ser disposta?
Tem 3 S’s, 2 I’s e 3 T’s neste
texto, portanto, número de formas de organizar as letras são:
10!=50 400
3! 2! 3!
Anéis
e Rotundas
Quando os arranjos no sentido
horário e anti-horário são os mesmos, o número de maneiras é ½ (n – 1)!
Exemplo
Dez pessoas vão a uma festa. De
quantas maneiras diferentes podem ser sentadas?
Dispositivo anti-horário e horário
são os mesmos. Portanto, o número total de formas é ½ (10-1)! = 181 440
Combinações
O número de maneiras de seleccionar
r objectos de n ao contrário dos objectos é:
Exemplo
Existem 10 bolas num saco, numeradas
de 1 a 10. Três bolas são seleccionadas ao acaso. Quantas maneiras diferentes
existem de seleccionar as três bolas?
10C3 =10!=10 × 9 × 8= 120
3! (10
– 3)!3 × 2 × 1
Permutações
Uma permutação é um arranjo ordenado.
nPr =
n! .
(n – r)!
Exemplo
No jogo Match of the Day, na
competição golo do mês, se tivesse que escolher os 3 principais objectivos de
10. Uma vez que a ordem é importante, a fórmula de permutação que usamos é
10P3 =10!
7!
= 720
Há, portanto, 720 maneiras
diferentes de escolher os três principais objectivos.
Probabilidade
Os factos acima referidos podem ser
usados para ajudar a resolver problemas na probabilidade.
Exemplo
Na Lotaria
Nacional, 6 números são escolhidos de 49. Ganha
se as seis bolas que escolher combinar coma as seis bolas seleccionadas pela máquina.
Qual é a probabilidade de ganhar a Lotaria Nacional?
O número de maneiras de escolher 6
números de 49 é 49C6 = 13 983 816 .
Portanto, a probabilidade de ganhar
a lotaria é 1/13983816 = 0.000 000 071 5 (3sf), que é 1 em 14 milhões de chances.