L'inverse d'une matrice carrée A, parfois appelée matrice réciproque, est une matrice A^(-1) qui vérifie : 

 AA^(-1)=I,
(1)

I est la matrice identité (ou matrice unité). Courant-Hilbert (1989) utilise la notation A^_ pour désigner la matrice inverse.

Une matrice carrée A est inversible si et seulement si le déterminant |A|!=0 (Lipschutz 1991). Une matrice inversible est dite non singulière.

Pour une matrice A de taille 2×2 

 A=[a b; c d],
(2)

la matrice inverse est : 

A^(-1)=1/(|A|)[d -b; -c a]
(3)
=1/(ad-bc)[d -b; -c a].
(4)

Pour une matrice A de taille 3×3 

 A=[a_(11) a_(12) a_(13); a_(21) a_(22) a_(23); a_(31) a_(32) a_(33)],
(5)

la matrice inverse est : 

 A^(-1)=1/(|A|)[|a_(22) a_(23); a_(32) a_(33)| |a_(13) a_(12); a_(33) a_(32)| |a_(12) a_(13); a_(22) a_(23)|;   ; |a_(23) a_(21); a_(33) a_(31)| |a_(11) a_(13); a_(31) a_(33)| |a_(13) a_(11); a_(23) a_(21)|;   ; |a_(21) a_(22); a_(31) a_(32)| |a_(12) a_(11); a_(32) a_(31)| |a_(11) a_(12); a_(21) a_(22)|].
(6)

En généralisant, on calcule l'inverse d'une matrice de taille n×n en utilisant des méthodes telles que l'élimination de Gauss-Jordan , l'élimination Gaussienne ou la décomposition LU.

L'inverse du produit AB des matrices A et B peut s'exprimer en fonction de A^(-1) et B^(-1). Soit

 C=AB.
(7)

Alors

 B=A^(-1)AB=A^(-1)C
(8)

et

 A=ABB^(-1)=CB^(-1).
(9)

Par conséquent,

 C=AB=(CB^(-1))(A^(-1)C)=CB^(-1)A^(-1)C,
(10)

donc

 CB^(-1)A^(-1)=I,
(11)

I est la matrice identité et

 B^(-1)A^(-1)=C^(-1)=(AB)^(-1).
(12)