L'area (alcune volte denotata con
) di un triangolo
con i lati
,
,
e corrispondenti agli
angoli
,
, e
è data da
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(1)
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(2)
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(3)
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(4)
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(5)
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(6)
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(7)
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dove è il circumcerchio,
è l'inraggio,
e
è il semiperimetro (Kimberling 1998, p. 35; Trott 2004, p. 65).
Una formula particolarmente interessante per è quella di Heron
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(8)
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Se il triangolo è specificato da vettori e
con l'origine in
un vertice, allora l'area è data da metà di quella del parallelogramma corrispondente, cioè,
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(9)
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(10)
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dove è il determinante e
è il prodotto vettoriale
bidimensionale (Ivanoff 1960).
Esprimendo le lunghezze dei lati ,
, e
in termini di
raggi
,
, e
dei cerchi tangenti reciprocamente incentrati
sui vertici del triangolo (definiti
cerchi di Soddy),
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(11)
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(12)
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(13)
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dà una forma particolarmente bella
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(14)
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Per formule aggiuntive, controllare Beyer (1987) e Baker (1884), che forniscono 110 formule per l'area del triangolo.
Nella figura qui sopra, il circumcerchio passa attravero i vertici del triangolo
che hanno raggio , e denota gli
angoli centrali dal primo
punto al secondo
, e il terzo punto da
. Allora l'area
del triangolo è data da
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(15)
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L'area (con segno) di un triangolo planare specificata dai relativi vertici per
, 2, 3 è data da
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(16)
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(17)
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Se il triangolo è incorporato in uno spazio tridimensionale con le coordinate dei vertici fornite da , allora
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(18)
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Può essere scritta in forma concisa come
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(19)
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(20)
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dove denota il prodotto vettoriale.
Se i vertici di un triangolo sono specificati in esatte coordinate trilineari come ,
allora l'area del triangolo è
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(21)
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dove è l'area del triangolo di riferimento
(Kimberling 1998, p. 35). Per trilineari classici, l'equazione diventa
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(22)
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