Questa lezione introduxe il concetto di rango di una matrice e spiega l'importanza di questo concetto.
Si può pensare a una matrice r x c come a un insieme di r vettori riga, ognuna con c elementi; oppure come un insieme di c vettori colonna, ognuna con r elementi.
Il rango di una matrice è definito come (a) il massimo numero di vettori colonna di una matrice linearmente indipendenti o (b) il massimo numero di vettori riga di una matrice linearmente indipendenti. Le due definizioni sono equivalenti.
Per una matrice r x c,
Se r è minore di c, il rango massimo della matrice è r.
Se r è maggiore di c, il rango massimo della matrice è c.
Il rango di una matrice è zero solo se la matrice non ha elementi. Se la matrice ha almeno un elemento, il rango minimo sarà uno.
In questa sezione sarà descritto il metodo per calcolare il rango di qualsiasi matrice. Questo metodo presuppone familiarità con matrici a scala e trasformazioni con le matrici a scala.
Il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in una matrice è uguale al numero di righe non nulle nella matrice ridotta per righe. Quindi, per trovare il rango di una matrice, si deve trasformare la matrice in una matrice ridotta per righe (o matrice a scala) e contare il numero di righe non nulle.
Consideriamo la matrice A e la matrice ridotta per righe, Aref. In precedenza, abbiamo dimostrato come trovare una matrice a scala da una matrice A.
|
⇒ |
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A | Aref |
Poichè la matrice Aref ha due righe non nulle, sappiamo che la matrice A ha due righe di vettori indipendenti; e quindi il rango della matrice A è 2.
È possibile verificare che sia corretto. La riga 1 e la riga 2 della matrice A sono linearmente independenti. Ma la riga 3 è combinazione lineare delle righe 1 e 2. Nello specifico, Riga 3 = 3*( Riga 1 ) + 2*( Riga 2). Quindi la matrice A ha solo due righe di vettori indipendenti.
Quando tutti i vettori di una matrice sono linearmente indipendenti, è detta a rango pieno. Consideriamo le matrici A e B qui di seguito.
A = |
|
B = |
|
La riga 2 della matrice A è multipla della riga 1; cioè, la riga 2 è uguale a due volte la riga 1. Quindi la riga 1 e 2 sono linearmente dipendenti. La matrice A ha solo una riga linearmente indipendente quindi il suo rango è 1. Quindi, la matrice A non è a rango pieno.
Ora, si guardi la matrice B. Tutte le sue righe sono linearmente independenti, quindi il rango della matrice B è 3. La matrice B è a rango pieno.
Problema 1
Consideriamo la matrice X, mostrata qui sotto.
X = |
|
Qual'è il suo rango?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Soluzione
La risposta corretta è la (C). Poichè la matrice non ha elementi nulli, il suo rango è maggiore di zero. E dal momento che le righe sono meno delle colonne, il rango massimo è uguale al numero massimo di righe linearmente indipendenti. E poichè nessuna riga è dipendente dalle altre, la matrice ha 2 righe linearmente indipendenti; quindi il suo rango è 2.
Problema 2
Consideriamo la matrice Y, mostrata qui sotto.
Y = |
|
Qual'è il suo rango?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Soluzione
La risposta corretta è la (C). Poichè la matrice non ha elementi nulli, il suo rango è maggiore di zero. E dal momento che le colonne sono meno delle righe, il rango massimo è uguale al numero massimo di colonne linearmente indipendenti.
Le colonne 1 e 2 sono indipendenti, poichè una non può essere derivata come prodotto scalare dell'altra. Tuttavia, la colonna 3 è linearmente dipendente con la colonna 1 e 2, perchè la colonna 3 è uguale alla colonna 1 più la colonna 2. Questo lascia la matrice con un massimo di due colonne linearmente indipendenti; cioè la colonna 1 e 2. Quindi la matrice ha rango 2.