O produto C de duas matrizes A e B é definido como

 c_(ik)=a_(ij)b_(jk),

(1)

Onde j é somado ao longo de todos os valores possíveis de i e k na notação acima usa a convenção de soma de Einstein. A soma implícita sobre índices repetidos sem a presença de um sinal de soma explícita é chamado de soma de Einstein, é normalmente usada em ambas as matrizes e análise tensor. Portanto, para a multiplicação de matrizes a serem definidas, as dimensões das matrizes devem satisfazer.

 (n×m)(m×p)=(n×p),

(2)

Onde (a×b) indica uma matriz com a e linhas b colunas. Escreva o produto explicitamente,

 [c_(11) c_(12) ... c_(1p); c_(21) c_(22) ... c_(2p); | | ... |; c_(n1) c_(n2) ... c_(np)]=[a_(11) a_(12) ... a_(1m); a_(21) a_(22) ... a_(2m); | | ... |; a_(n1) a_(n2) ... a_(nm)][b_(11) b_(12) ... b_(1p); b_(21) b_(22) ... b_(2p); | | ... |; b_(m1) b_(m2) ... b_(mp)],

(3)

Onde

c_(11)

=

a_(11)b_(11)+a_(12)b_(21)+...+a_(1m)b_(m1)

(4)

c_(12)

=

a_(11)b_(12)+a_(12)b_(22)+...+a_(1m)b_(m2)

(5)

c_(1p)

=

a_(11)b_(1p)+a_(12)b_(2p)+...+a_(1m)b_(mp)

(6)

c_(21)

=

a_(21)b_(11)+a_(22)b_(21)+...+a_(2m)b_(m1)

(7)

c_(22)

=

a_(21)b_(12)+a_(22)b_(22)+...+a_(2m)b_(m2)

(8)

c_(2p)

=

a_(21)b_(1p)+a_(22)b_(2p)+...+a_(2m)b_(mp)

(9)

c_(n1)

=

a_(n1)b_(11)+a_(n2)b_(21)+...+a_(nm)b_(m1)

(10)

c_(n2)

=

a_(n1)b_(12)+a_(n2)b_(22)+...+a_(nm)b_(m2)

(11)

c_(np)

=

a_(n1)b_(1p)+a_(n2)b_(2p)+...+a_(nm)b_(mp).

(12)

Matriz da multiplicação é associativa, tal como pode ser visto, tornando

 [(ab)c]_(ij)=(ab)_(ik)c_(kj)=(a_(il)b_(lk))c_(kj),

(13)

Onde, A soma de Einstein é novamente utilizada, desde que a_(il), b_(lk), e  c_(kj)sejam escalares, use a associatividade da multiplicação escalar para escrever 

 (a_(il)b_(lk))c_(kj)=a_(il)(b_(lk)c_(kj))=a_(il)(bc)_(lj)=[a(bc)]_(ij).

(14)

Desde que isto seja verdade para todos i e j, deve ser verdade que

 (ab)c=a(bc).

(15)

Ou seja, a multiplicação de matrizes é associativa. A equação (13) pode portanto ser escrita

 [abc]_(ij)=a_(il)b_(lk)c_(kj),

(16)

Sem ambiguidade. Devido à associatividade, matrizes formam um semigrupo sob multiplicação.

A multiplicação de matrizes também é distributiva. Se A e B são m×n matrizes e C  e D são n×p matrizes também.

A(C+D)

=

AC+AD

(17)

(A+B)C

=

AC+BC.

(18)

A partir de  n×n matrizes formam um grupo abeliano, sob a adição, n×n matrizes de formar um anel.

No entanto, a multiplicação de matrizes não está, em geral, comutativa (embora se comutativa  A e B sejam diagonais e da mesma dimensão).

O produto de duas matrizes de blocos é dada pela multiplicação de cada bloco

 [o o    ; o o    ;   o   ;    o o o;    o o o;    o o o][x x    ; x x    ;   x   ;    x x x;    x x x;    x x x] 
 =[[o o; o o][x x; x x]  ;  [o][x] ;   [o o o; o o o; o o o][x x x; x x x; x x x]].

(19