Un tétraèdre est un polyèdre à quatre côtés (quatre triangles).

Si toutes les faces sont congruentes (cad qu'elles coïncident parfaitement quand on les superpose), l'on parle de tétraèdre isocèle.
Si le tétraèdre est formé de quatre triangles équilatéraux, on parle de tétraèdre régulier.
Un tétraèdre est dit orthocentrique lorsque ses quatre hauteurs sont concourantes.
Un tétraèdre OABC est dit trirectangle si les triangles OAB, OBC et OCA sont des triangles rectangles.

Le volume d'un tétraèdre est égal au tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur.

Et voici d'autres formules pour calculer ce volume :

Soit un tétraèdre ordinaire (pas nécessairement régulier) définit par un polyèdre convexe (cad que toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans son intérieur) à quatre faces triangulaires, avec pour sommets  (x_i,y_i,z_i), où i=1, ...,  alors le volume du tétraèdre se définit ainsi :
 V=1/(3!)|x_1 y_1 z_1 1; x_2 y_2 z_2 1; x_3 y_3 z_3 1; x_4 y_4 z_4 1|.
(1)

Si l'on définit le tétraèdre par les trois vecteurs (arêtes du polyèdre) a, b, c, alors le volume se définit ainsi :

 V=1/(3!)|a·(bxc)|.
(2)

Si l'arête entre les sommets i et j mesure d_(ij), alors le volume V est donné par le déterminant Cayley-Menger 

 288V^2=|0 1 1 1 1; 1 0 d_(12)^2 d_(13)^2 d_(14)^2; 1 d_(21)^2 0 d_(23)^2 d_(24)^2; 1 d_(31)^2 d_(32)^2 0 d_(34)^2; 1 d_(41)^2 d_(42)^2 d_(43)^2 0|.
(3)

Soit un tétraèdre ordinaire A_1A_2A_3A_4 composé des triangles T_1=DeltaA_2A_3A_4, T_2=DeltaA_1A_3A_4, T_3=DeltaA_1A_2A_4, et T_4=DeltaA_1A_2A_3. Soient s_1, s_2, s_3, s_4, les aires de ces triangles, et soit l'angle dièdre theta_(ij) entre les plans définis par T_i et T_ji!=j=1,2,3,4 . Alors l'aire des quatre faces se définit par :

 s_k^2=sum_(j!=k; 1<=j<=4)s_j^2-2sum_(i,j!=k; 1<=i,j<=4)s_is_jcostheta_(ij)
(4)

ce qui implique les six angles dièdres (Dostor; Lee). Il s'agit d'une généralisation de la loi des cosinus pour le tétraèdre. De plus, pour tout i!=j=1,2,3,4,

 V=2/(3l_(ij))s_is_jsintheta_(ij),
(5)

l_(ij) est la taille de l'arrête commune à T_i et T_j (Lee).

Dans un tétraèdre trirectangle (en un des sommets, les arêtes se rencontrent à angle droit), si on appelle toutes les faces opposées à ce sommet s_k, alors :

 s_k^2=sum_(j!=k; 1<=j<=4)s_j^2.
(6)

C'est une généralisation du théorème de Pythagore qui s'applique aussi aux dimensions supérieures (F. M. Jackson).

Soit A l'ensemble des 6 arêtes du tétraèdre et P(A) l'ensemble des parties de A. Notons t^_ le complément par rapport à A d'un élément t in P(A). Définissons F comme l'ensemble des triples {x,y,z} in P(A) tels que x,y,z forment une face du tétraèdre. Définissons en outre G  comme l'ensemble des  (e intersection f) union (e union f^_) in P(A), tels que e,f in F et e!=fG contient 3 éléments qui sont les paires d'arêtes opposées du tétraèdre, c'est à dire les arêtes sans sommet commun. Il nous faut encore trois fonctions. La première, D, associe à une arête x de longueur L la quantité (L/RadicalBox[1, 3]2)^2, la seconde p, qui associe à un élément  t in P(A) le produit des D(x) pour tous les x in t, et la troisième s, qui associe à  t la somme des D(x) pour tous les x in t. Alors le volume du tétraèdre est donné par la formule :

 sqrt(sum_(t in G)(s(t^_)-s(t))p(t)-sum_(t in F)p(t))
(7)

(P. Kaeser.).

On peut "généraliser" le problème du cercle de Gauss aux tétraèdres :  si l'on considère un tétraèdre tracé sur un quadrillage et centré à l'origine (le rayon est donné), combien de points se trouvent à l'intérieur (Lehmer, Granville, Xu et Yau, Guy).

Il existe maints théorèmes intéressants sur les propriétés des tétraèdres, pas nécessairement réguliers (Altshiller-Court). Si un plan divise deux arêtes opposées d'un tétraèdre dans un rapport donné, alors il divise le volume du tétraèdre dans le même rapport. (Altshiller-Court). 

Soient les sommets d'un tétraèdre A, B, C, D, et les longueurs des côtés BC=a, CA=b, AB=c, DA=a^', DB=b^', et DC=c^'. Alors Delta  l'aire du triangle  dont les côtés ont pour longueur aa^', bb^', et cc^', le volume du tétraèdre et le rayon de la sphère circonscrite sont liés par la formule : 
 6RV=Delta
(8)

(Crelle; von Staudt; Rouché et Comberousse; Altshiller-Court).

Soit Delta_i l'aire du triangle formé par les ièmes faces d'un tétraèdre dans une sphère de rayon R et soit epsilon_i l'angle formé par l'arête i. Alors

 sum_(i=1)^4Delta_i=[2(sum_(i=1)^6epsilon_i)-4pi]R^2,
(9)

comme démontré par J.-P. Gua de Malves. La formule précédente permet de calculer l'angle passant par le sommet d'un tétraèdre régulier en remplaçant epsilon_i=cos^(-1)(1/3) (angle diédral). Par conséquent,

 Omega=(Delta_i)/(R^2)=3cos^(-1)(1/3)-pi,
(10)

soit environ 0.55129 stéradians.