O inverso de uma matriz quadrada  A, às vezes chamado de uma matriz recíproca, é uma matriz A^(-1)de tal modo que

 AA^(-1)=I,

(1)

Onde I representa a identidade da matriz. Courant e Hilbert (1989, p. 10) use a notação A^_ para denotar a matriz inversa..

Uma matriz quadrada A tem uma relação inversa se o determinante |A|!=0 (Lipschutz 1991, p. 45). Uma matriz possuindo um inverso é chamado não singular, ou invertível.

O inverso da matriz de uma matriz quadrada m pode ser tomado em Matemática usando a função inversa [m].

Para a 2×2 matriz

 A=[a b; c d],

(2)

A matriz inversa é

A^(-1)

=

1/(|A|)[d -b; -c a]

(3)

=

1/(ad-bc)[d -b; -c a].

(4)

Para a 3×3 matriz

 A=[a_(11) a_(12) a_(13); a_(21) a_(22) a_(23); a_(31) a_(32) a_(33)],

(5)

A matriz inversa é

 A^(-1)=1/(|A|)[|a_(22) a_(23); a_(32) a_(33)| |a_(13) a_(12); a_(33) a_(32)| |a_(12) a_(13); a_(22) a_(23)|;   ; |a_(23) a_(21); a_(33) a_(31)| |a_(11) a_(13); a_(31) a_(33)| |a_(13) a_(11); a_(23) a_(21)|;   ; |a_(21) a_(22); a_(31) a_(32)| |a_(12) a_(11); a_(32) a_(31)| |a_(11) a_(12); a_(21) a_(22)|].

(6)

Em geral n×n a matriz pode ser invertida através de métodos tais como a eliminação de Gauss-Jordan, eliminação de Gauss e decomposição LU.

O inverso de um produto AB de matrizes A e B pode ser expresso em termos de A^(-1)e B^(-1). Deixe

 C=AB.

(7)

Em seguida

 B=A^(-1)AB=A^(-1)C

(8)

e

 A=ABB^(-1)=CB^(-1).

(9)

Portanto,

 C=AB=(CB^(-1))(A^(-1)C)=CB^(-1)A^(-1)C,

(10)

assim

 CB^(-1)A^(-1)=I,

(11)

Onde I representa a identidade da matriz, e

 B^(-1)A^(-1)=C^(-1)=(AB)^(-1).