Dérivation et courbes paramétrées

Définition :Soit f et g deux fonctions définies et continues sur les intervalles Df et Dg de R. Soit une variable réelle t.

Soit le point M(x,y) défini par   pour toutes les valeurs de t appartenant à Df et Dg.

L’ensemble des points M(x,y) définit une courbe (C ) dont le système   constitue la représentation paramétrique.

Remarque : La courbe (C ) n’est pas nécessairement le graphe d’une fonction (de type y= f(x) ) car à deux valeurs différentes du paramètre peuvent correspondre plusieurs points de même abscisse, ce qui interdit la notion de fonction. On parle donc de courbe paramétrée et non de fonction paramétrée

Etude de la courbe au voisinage d’un point : Le coefficient directeur de la tangente en (x0,y0) pour t0 est m0 =     pour f’(t0 ) ≠ 0

et si f(t0) = 0 et g’(t0) ≠ 0, la tangente est parallèle à l’axe Oy.

Théorème : Soit la courbe (C ) qui a pour représentation paramétrique   .

Si t et g sont dérivables au point t0 (inclus dans I) et que f '(t0   0, alors il existe un voisinage de t0 dans lequel la courbe peut être décrite par la fonction y = y(x). 

Cette fonction est différentiable en x0 = f(t0) et l’on a :

Nous avons utilisé les fonctions f et g au lieu d’écrire x = x(t), y = y(t) pour décrire les coordonnées. Mais si on optait pour ce type de présentation, on pourrait réécrire la formule précédente comme suit :

Où encore, en utilisant la notation de Leibniz :

Théorème :Soit la courbe (C ) qui a pour représentation paramétrique   .

Si les dérivées secondes de f et g existent pour t0, alors, la dérivée seconde de la fonction y = y(x) existe en x0 = f(t0)  et nous avons :

En utilisant la notation traditionnelle pour une courbe paramétrée, on obtient :

Comment parvient-on à ce résultat ?

Puis on l’applique en x0, on utilise f-1(x0) = t0  et voilà.

Exemple : Soit la courbe paramétrée (C ) définie par l’équation

x = t·et
y = t3 + 6t   pour t ≥ -1. 

Démontrez qu’au voisinage de (e,7) on peut définir cette courbe au moyen d’une fonction et trouvez sa dérivée.

Solution : 

Pour le point donné, t0  = 1. On voit que   (1) = 2e, ce qui est différent de zéro et par conséquent, l’on a prouvé l’existence d’une fonction y = y(x) au voisinage (e,7).

A l’aide du théorème précédent, on a aussi

Passer de la représentation paramétrique à une fonction

On sait désormais comment différentier une description spatiale locale, mais comment décomposer une courbe donnée en parties qui puissent être exprimées par des fonctions ?

On sait que transformer des équations paramétriques en une fonction est réalisé par élimination, ce qui nécessite que la fonction x(t) soit 1-1. Une façon simple de reconnaître les intervalles d’injectivité consiste à utiliser les dérivées.

Admettons que l’on puisse diviser l’intervalle I en sous-intervalles où la dérivée   (t) existe, est non nulle et a le même signe. Alors sur chacun de ces intervalles, la dérivée doit être soit positive, soit négative, par conséquent, x  doit être égal à 1-1 (théorie de la dérivée et monotonie). Ainsi les morceaux de la courbe qui correspondent au temps pris pour chacun de ces sous-intervalles sont exactement les morceaux qui peuvent (du moins théoriquement) être exprimés par des fonctions.

Remarquons que le signe de la dérivée   (t) nous donne aussi une autre information qui nous sera utile lors de l’analyse de la courbe. Quand   (t) > 0, alors la courbe va vers la droite; quand   (t) < 0, la courbe va vers la gauche.

Etant donné qu’une courbe paramétrée traduit un mouvement, l’on s’intéresse naturellement à la vitesse instantanée à un point donné. Nous avons une formule pour cela :

Comment obtient-on cette formule ? Supposons qu’il se passe quelque chose à l’instant t à un endroit donné, puis que l’on passe à l’instant dt. Dans l’espace, cela signifie qu’il y a un mouvement par dx et dy, mais puisque x et y sont fonction de t, on obtient les formules de transformation suivantes :

dx =   ·dt,    dy =   ·dt.

(Voir la théorie de la notation de Leibniz - Introduction.) Puisque le mouvement a porté sur un temps infiniment court, la courbe n’a pas eu le temps de se courber et l’on peut considérer que pour cette courte période, c’est une ligne droite.

Ainsi, le changement ds dans la position de s peut se calculer en utilisant la formule de Pythagore :

Quand on divise par dt, on obtient l’égalité voulue, puisque la vitesse est exactement le rapport d'une évolution au temps.

On pourrait aussi calculer la longueur du chemin parcouru, mais ceci nécessiterait l’emploi de l’intégration (se référer à la théorie de l’intégration). L’on pourrait aussi calculer l’aire de la région donnée par une courbe paramétrée (là aussi, se référer à la théorie de l’intégration).