Méthode de Cramer


définition : Un système de Cramer est un système d'équations linéaires qui comporte autant d'équations que d'inconnues

théorème : Un système de Cramer admet une solution unique que l'on peut écrire :  
         x_k = { \det(A_k) \over \det(A) }

 A_k est la matrice carrée formée en remplaçant la kème colonne de A par le vecteur colonne \Lambda.

A_k = ( a_{k|i,j} ) \mbox{ avec } a_{k|i,j} = \left\{\begin{matrix} a_{i,j} & \mbox{si } j \ne k \\ \lambda_{i} & \mbox{si }j = k\end{matrix}\right.

Pour un système à deux équations :

Si ad-bc\ne0, le système

\left\{\begin{matrix}
ax+by = e\\
cx+dy = f\end{matrix}\right.

a pour unique solution :

x = { \begin{vmatrix}e&b\\f&d\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} } = { ed - bf \over ad - bc},\quad y = { \begin{vmatrix}a&e\\c&f\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} } =  { af - ec \over ad - bc}.


Pour un système à trois équations :
\left\{\begin{matrix}a_1x_1 + b_1x_2 + c_1x_3 = d_1\\
a_2x_1 + b_2x_2 + c_2x_3 = d_2\\
a_3x_1 + b_3x_2 + c_3x_3 = d_3\end{matrix}\right.

Posons :

A = \begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix},\quad X= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad
\Lambda = \begin{pmatrix} 
d_1\\ 
d_2\\ 
d_3
\end{pmatrix}.

Le système admet une solution unique si et seulement si \det(A) \ne 0 :

x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{\begin{vmatrix}d_1&b_1&c_1\\d_2&b_2&c_2\\d_3&b_3&c_3\end{vmatrix}}{\det(A)}
x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{\begin{vmatrix}a_1&d_1&c_1\\a_2&d_2&c_2\\a_3&d_3&c_3\end{vmatrix}}{\det(A)}
x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \frac{\begin{vmatrix}a_1&b_1&d_1\\a_2&b_2&d_2\\a_3&b_3&d_3\end{vmatrix}}{\det(A)}

Ou plus simplement :

X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \frac1{\det(A)} \cdot \begin{pmatrix}
\det(A_1)\\
\det(A_2)\\
\det(A_3)\end{pmatrix}.

Rappel sur le calcul du déterminant d'une matrice carrée

On peut calculer le déterminant d'une matrice de taille n à l'aide de n déterminants de matrices de taille n - 1 obtenues en enlevant à la matrice de départ une ligne et une colonne. Si A est la matrice, pour tout i et j, on note A_{i,j} la matrice obtenue en enlevant à A sa i-ième ligne et sa j-ième colonne.

A_{i,j}=\begin{pmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \dots & a_{1,n} \\\vdots & & \vdots &  \vdots& &\vdots\\
a_{i-1,1} & \dots & a_{i-1,j-1}& a_{i-1,j+1}& \dots & a_{i-1,n} \\
a_{i+1,1} & \dots & a_{i+1,j-1}& a_{i+1,j+1}& \dots & a_{i+1,n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots &&\vdots\\
a_{n,1} & \dots & a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \dots & a_{n,n}\end{pmatrix}

On peut alors développer le calcul du déterminant de A suivant une ligne ou une colonne.

Développement suivant la ligne i : \det(A)=\sum_{j=1}^{n} a_{i;j} (-1)^{i+j}\det(A_{i,j})