Adição/
Subtracção
Vector da adição envolve a adição
dos componentes dos vectores juntos. Geometricamente, isto pode ser
interpretado como a adição dos vectores 'tip-to-tail.' De modo a adicionar dois
vectores, devem estar no espaço com o mesmo número de componentes (por exemplo,
um vector bidimensional não pode ser adicionado a um vector tridimensional). Por
exemplo, deixe u=[3,1] e v=[2,5]. Para
adicionar u + v, devemos acrescentar a respectiva x e y de
componentes entre si,
Em duas ou três dimensões, a adição
de vectores pode ser interpretada geometricamente. O 'tip-to-tail' método
envolve arranjar os vectores a serem adicionados em conjunto, iniciando cada
vector no fim do anterior (o 'tip' do primeiro vector é o lugar onde coloca a
“tail” do próximo vector.) O resultado final pode ser encontrado por encontrar
o vector que começa na parte final do primeiro vector, e termina na ponta do
último vector. Por exemplo, vamos u=[2,1], v=[4,4], e w=[1,3].
O resultado é mostrado em baixo:
O vector
resultante u + v + w=[7,8] é o mesmo que é encontrado pela sombra dos
componentes dos três vectores juntos. Adições
similares podem ser realizadas com 3 vectores dimensionais colocando os vectores
tip-to-tail, e encontre o vector que se estende desde o ponto de partida para o
fim do último vector para ser adicionado. Por exemplo, vamos u=[3,1,-2]
e v=[4,0,3]. Ao adicionar componentes, descobrimos que u + v = [3
+ 4, 1 + 0, (-2) + 3] = [7,1,1].
(Note-se que no exemplo em cima, u
teve uma componente negativa no z direcção. Os componentes do vector
pode ser qualquer número real, positive ou negativo.)
Ao adicionar vectores em Rn,
sempre podemos adicioná-los simplesmente adicionando seus componentes. Se u=[u1,
u2, ..., un] e v=[v1, v2,
..., vn], then u + v=[u1 + v1, u2
+ v2, ..., un + vn]
1 | Encontre a soma dos vectores em Rn
onde n>3
O vector da subtracção é
simplesmente a negative da adição. Vamos começar em duas dimensões, para
simplificar. Deixe v=[2,3] e w=[4,1]. Então o que é v - w?
Para encontrar v - w, usamos o facto v - w = v + (-w). Então,
para encontrar -w, todos nós temos que mudar o sinal de todos os componentes
do w. Então, já que w=[4,1], -w=[-4,-1], a adição de
componentes, v + (-w) =[2 + (-4), 3 + (-1)] = [2-4, 3-1] = [-2, 2]. Assim
v - w=[-2, 2]. Geometricamente, tendo o negativo de um vector faz com
que o vector tenha o mesmo comprimento, mas apontam na direcção oposta. Nós
mostramos o exemplo de cima geometricamente em baixo.
Ao levar o negative de um vector, é
muito importante para mudar o sinal de cada componente desse vector. Assim, se u=[2,
-3, 0, 4] em R4, então -u=[-2, 3, 0, -4]. Note-se que
desde que a fórmula para o comprimento de um vector envolve cada componente em
quadratura, então |u| = |-u|. Tal como acontece com a adição de
vectores, os vectores envolvidos devem ter o mesmo número de componentes.
Vectores geométricos subtracção em 2 ou 3 dimensões são ainda feitos pelo método
tip-to-tail, mas o vector a ser subtraído deve ser rodado no sentido oposto (que
é o equivalente de alterar o sinal de cada componente.)
Multiplicação
Escalar
Multiplicação envolvendo vectores
não é exactamente o mesmo que a multiplicação comum envolvendo apenas escalares.
Multiplicação escalar envolve a multiplicação de um número escalar por um vector.
Deixe k ser um escalar, e u ser um vector em Rn. Então
u=[u1, u2, ..., un], então o produto ku=[ku1,
ku2, ..., kun]. Esta é a multiplicação escalar. Cada componente
do vector u simplesmente é multiplicado pelo escalar k. O resultado é um
vector, e
Se k>0, então ku está na
mesma direcção de u, com comprimento k|u|
Se k=0, então ku é o vector nulo (o ponto de partida é o mesmo, mas o
comprimento é igual a zero)
Se k<0, então ku está na direcção oposta, como u, com
comprimento |k||u|
Nós já utilizamos a multiplicação
escalar a nosso ver para a subtracção, onde (-1)u = -u. Como
esperado, 1u=u. A seguinte tabela resume as propriedades da
adição de vectores/ subtracção e multiplicação escalar até ao momento.
1) u + v = v + u
2) u + (v + w) = (u + v) + w
3) u - v = u + (-v)
4) k(u + v) = ku + kv
5) Deixe a,b serem escalares. A (bu) = (ab)u = (ba)u
6) (a + b)u = au + bu
7) |ku| = |k||u|
8) u - u = u + (-u) = 0 (O vector nulo)
Observe um facto importante, que |u
+ v| ≤ |u| + |v|