Derivada
da função paramétrica
Considere uma curva paramétrica dada
por
Para obter t, num intervalo I,
onde f e g são funções contínuas.
Considere também um ponto (x0,y0) que
se encontra sobre esta curva, portanto x0 = f(t0) e
y0 = g(t0), no tempo
específico t0.
Com alguma sorte, existe uma
vizinhança desse ponto em que a curva pode ser descrita utilizando uma
função y = y (x).
Na seção de funções paramétricas em
funções – Teoria temos um teorema que tem uma condição suficiente para que isso
aconteça. Essa condição traduz-se por f '(t0) 0.
Esta condição significa que f estará
quer aumentando ou diminuindo em t0, portanto, nesse
momento a curva move-se para a esquerda ou para a direita, quando passa pelo
ponto dado. O teorema afirma que podemos descrever a curva usando uma função
nele descrita. Podemos imaginar que a função f é realmente 1-1em
torno do tempo dado, desse modo podemos encontrar o seu inverso, t = f-1(x) e
usá-lo para eliminar t das equações.
y(x) = g( f-1(x)),
Se assumirmos que f e g são
diferenciáveis em t0,toda a função no lado direito é
diferenciável e portanto também será y(x) e temos até
uma fórmula para a derivada. Fica mais interessante ainda se usarmos a fórmula
para a derivada da função inversa. Obtemos então o seguinte teorema:
Teorema:
Considere a curva paramétrica dada por para t em
qualquer intervalo I.
Assuma que f e g são
diferenciáveis num qualquer t0 do interior de I e
que f '(t0) 0. Então
existe uma vizinhança de t0 em que a parte
correspondente da curva pode ser expressa utilizando uma função y = y(x).
Além disso, esta função é diferenciável em x0 = f(t0) e
temos
Usámos as funções f e
g em vez de escrever o tradicional x = x(t), y = y(t) para
a descrição das coordenadas. Se optássemos pela maneira tradicional, teríamos
coisas como t = x-1(x), onde
o primeiro x é uma função e o segundo é a variável, bastante
confuso para um principiante. Mas agora que temos uma resposta, poderá ser
interessante reescrever isto nos termos tradicionais, recordando que o ponto é
a notação para derivada em ordem ao tempo.
Fica ainda mais interessante quando
usamos a notação de Leibniz.
Agora parece um cancelamento normal,
assim a notação de Leibniz faz de novo as coisas parecerem naturais.
Observe a interacção entre o raciocínio
temporal e o espacial. Podemos ver esta curva como um objecto comum no plano, ou
podemos vê-la como um registo de algum movimento no tempo. Quando queremos uma
derivada em relação á coordenada x num ponto no espaço, a fórmula
relaciona-a a uma expressão que apresenta derivadas temporais, naturalmente
também substituímos o tempo, nomeadamente exactamente o tempo em que chegamos
ao ponto dado. Isto é bastante natural, mas pode ser confuso se não se for cuidadoso
o suficiente. Ao investigar as curvas paramétricas, é preciso manter presente o
que é espacial e o que é temporal.
Tendo a formula para a primeira
derivada, podemos diferencia-la uma vez mais para obter o seguinte.
Teorema:
Considere uma curva paramétrica tal como
no teorema anterior com todas as propriedades lá descritas. Assuma além disso
que f e g são duplamente diferenciáveis em t0.
Então a função y = y(x) é também duplamente
diferenciável em x0 = f(t0) e
temos
Usando a notação tradicional para
uma curva paramétrica obtemos
Como é que obtivemos este resultado?
Então, basta substituir em x0,
usando f-1(x0) = t0 e
está feito.
Exemplo: Considere a curva paramétrica
x = t·et,
y = t3 + 6t para t -1.
Prove que numa vizinhança de (e,7) podemos expressar esta curva usando
uma função e encontre a sua derivada.
Solução: O tempo correspondente ao ponto é dado t0 = 1. Vemos
que (1) = 2e, o qual não é igual a zero, e
por conseguinte a existência de uma função y = y(x) na
vizinhança de (e,7) está provado.
Pelo teorema acima, temos também
Mudando curvas paramétricas em
funções
Nós sabemos como diferenciar uma
expressão espacial local, agora voltamos para o problema da decomposição de uma
determinada curva em partes que podem ser expressas por funções. Sabemos que a
alteração de equações paramétricas para uma função é feita por eliminação, para
o qual precisamos da função x(t) ser 1-1. Uma
maneira simples de reconhecer intervalos de injetividade é a utilização de
derivadas.
Assuma que podemos dividir o
intervalo I em sub-intervalos nos quais a derivada (t) existe
e não é zero e tem o mesmo sinal. Então em cada um destes intervalos, a derivada
deve ser positiva ou negativa, por conseguinte x deve ser aí 1-1.
Assim, os segmentos da curva, que correspondem ao tempo, retirados de cada um
destes intervalos constituintes são exactamente os segmentos que podem ser
(pelo menos teoricamente) expressos como funções.
Note que o sinal da derivada (t) também
dá informação adicional, que é útil quando se investiga a curva dada. Quando
(t) > 0, então
a curva vai para a direita; quando
(t) < 0, então
a curva vai para a esquerda. Isso aproxima-nos do tema do esboço duma
determinada curva.
Vida de insecto
Agora voltamos aonde começámos. O objectivo
desta secção foi para esquecer movimentações e reduzir curvas paramétricas a
imagens e funções. Fomos bem-sucedidos, e teremos que aprender a esboçar curvas
paramétricas. Mas por enquanto, vamos ver que outras informações podem ser
deduzidas de uma curva paramétrica.
Dado que uma curva paramétrica é um
registo de um movimento, uma questão natural é sobre a velocidade instantânea
em qualquer ponto. Nós temos uma fórmula para isso.
Como é que podemos obtê-la? Assuma que
um insecto está no momento t num lugar e em seguida move-se
por um tempo dt. No espaço, isto significa movimento por dx e
dy, mas como x e y são funções de t,
obtemos as fórmulas de transformação.
dx = ·dt,
dy =
·dt.
(Veja a notação de Leibniz no capítulo
de introdução.) Como movimentámo-nos por um tempo infinitamente curto, a curva
não teve tempo para curvar e podemos pensar nela como uma linha recta.
Assim, a mudança ds na posição s pode
ser calculada usando a regra de Pitágoras:
Quando dividimos por dt,
obtemos a igualdade desejada, já que a velocidade é exactamente a derivada
temporal da posição.
Podemos aprender mais, por exemplo,
podemos calcular o comprimento do caminho percorrido, mas isso requer
integração. Na teoria dos integrais, você vai aprender a calcular a área da
região dada por uma curva paramétrica, e o centro da gravidade.