Sequenze. Consideriamo la serie dei numeri naturali: 1, 2, 3, ... , n - 1, n , ... .
Se sostituiamo ogni numero naturale n in queste serie con alcuni numeri un , subordinato a una legge, otteniamo una nuova serie di numeri:
chiamata sequenza numerica. Un numero un é chiamato termine generale della sequenza numerica.
Esempi di sequenze numeriche:
Progressione aritmetica. La sequenza numerica, in cui ogni termine successivo all'inizio del secondo é pari al termine precedente, aggiunto con la costante di questo numero di sequenza d, é chiamata progressione aritmetica. Il numero d é chiamato differenza comune. Ogni temine della progressione aritmetica é calcolato con la formula:
La somma dei primi n termini della progressione aritmetica é e calcolata con:
E s e m p i o . Trovare la somma dei primi 100 numeri dispari.
S o l u z i o n e . Utilizzare l'ultima formula. Con a1 = 1, d = 2 . Quindi, abbiamo:
Progressione geometrica. La sequenza numerica, in cui ogni termine successivo all'inizio del secondo é pari al termine precedente, moltiplicato per la costante per questa sequenza numerica q, e chiamata progressione geometrica. Il numero q é chiamato rapporto comune. Ogni termine di una progressione geometrica é calcolato dalla formula:
La somma dei primi n termini della progressione geometrica é calcolata come:
progressione geometrica infinitamente decrescente. Questa e la progressione geometrica, con
| q
| < 1 . Infatti la nozione della somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente é determinata come un numero, per cui la somme del primo
n termini della progressione considerata unboundedly approximates at an unbounded
increasing of number n . La somma della progressione geometrica infinitamente decrescente é calcolata con la formula:
E s e m p i o . Trovare la somma della progressione geometrica infinitamente decrescente::
S o l u z i o n e . Usiamo l'ultima formula. Sia b1= 1, q = 1/2. Quindi abbiamo:
Conversione di un decimale periodico in una frazione. Supponiamo, di voler convertire il numero decimale periodico 0.(3) in una frazione. Consideriamo questo decimale nella forma piu naturale:
. Questa é la progressione geometrica infinitamente decrescente con il primo termine 3/10 e il rapporto comune q = 1/10. Secondo la formula sopra riportata l'ultima somma é uguale a: