Un tétraèdre est un polyèdre à quatre côtés (quatre triangles).
Si toutes les faces sont congruentes (cad qu'elles coïncident parfaitement quand on les superpose), l'on parle de tétraèdre isocèle.![]() |
(1)
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Si l'on définit le tétraèdre par les trois vecteurs (arêtes du polyèdre) ,
,
, alors le volume se définit ainsi :
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(2)
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Si l'arête entre les sommets et
mesure
, alors le volume
est donné par le déterminant Cayley-Menger
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(3)
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Soit un tétraèdre ordinaire composé des triangles
,
,
, et
. Soient
,
,
,
, les aires de ces triangles,
et soit l'angle dièdre
entre les plans définis par
et
où
. Alors l'aire des quatre faces se définit par :
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(4)
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ce qui implique les six angles dièdres (Dostor; Lee). Il s'agit d'une
généralisation de la loi des cosinus pour le tétraèdre. De plus, pour
tout ,
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(5)
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où est la taille de l'arrête commune à
et
(Lee).
Dans un tétraèdre trirectangle (en un des sommets, les
arêtes se rencontrent à angle droit), si on appelle toutes les faces
opposées à ce sommet , alors :
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(6)
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C'est une généralisation du théorème de Pythagore qui s'applique aussi aux dimensions supérieures (F. M. Jackson).
Soit l'ensemble des 6 arêtes du tétraèdre et
l'ensemble des parties de
. Notons
le complément par rapport à
d'un élément
. Définissons
comme l'ensemble des triples
tels que
forment une face du tétraèdre. Définissons en outre
comme l'ensemble des
, tels que
et
.
contient 3 éléments qui sont les paires d'arêtes opposées du tétraèdre,
c'est à dire les arêtes sans sommet commun. Il nous faut encore
trois fonctions. La première,
, associe à une arête
de longueur
la quantité
, la seconde
, qui associe à un élément
le produit des
pour tous les
, et la troisième
, qui associe à
la somme des
pour tous les
. Alors le volume du tétraèdre est donné par la formule :
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(7)
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(P. Kaeser.).
On peut "généraliser" le problème du cercle de Gauss aux tétraèdres : si l'on considère un tétraèdre tracé sur un quadrillage et centré à l'origine (le rayon est donné), combien de points se trouvent à l'intérieur (Lehmer, Granville, Xu et Yau, Guy).
Il existe maints théorèmes intéressants sur les propriétés des tétraèdres, pas nécessairement réguliers (Altshiller-Court). Si un plan divise deux arêtes opposées d'un tétraèdre dans un rapport donné, alors il divise le volume du tétraèdre dans le même rapport. (Altshiller-Court).
Soient les sommets d'un tétraèdre![]() |
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(Crelle; von Staudt; Rouché et Comberousse; Altshiller-Court).
Soit l'aire du triangle formé par les
èmes faces d'un tétraèdre dans une sphère de rayon R et soit
l'angle formé par l'arête
. Alors
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(9)
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comme démontré par J.-P. Gua de Malves. La formule précédente permet de calculer
l'angle passant par le sommet d'un tétraèdre régulier en remplaçant
(angle diédral). Par conséquent,
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(10)
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soit environ 0.55129 stéradians.