Производная неявной функции

Определение

Функция, определена уравнением вида f(x, y) = 0 [в общем виде, f(x1, x2, ... , xn) = 0 ]. Если y - зависимая переменная, то f(x, y) = 0 определяет y как неявную функцию переменной x.

Неявные функции

Пусть y связана с x уравнением

f(x, y) = 0
../../images/implicit_function.gif

и предположим геометрическое место точек, как показано на рисунке.

Мы не можем сказать, что y это функция x, т.к. определённому значению переменной x более одного значения переменной y (т.к., на рисунке прямая перпендикулярная оси x пересекает область более чем в одной точке) а функция по определению однозначна. Хотя уравнение выше не определяет y как функцию x, мы можем сказать, что на определённых специально выбранных сегментах области y может рассматриваться как однозначная функция x [выраженная как y = f(x)]. Например, сегмент P1P2 может быть отделён как область определения функции y = f(x). Впоследствии, принято говорить, что уравнение определяет y неявно заданной функцией x; или говорят, что y это неявная функция x.

Теорема о неявной функции

Теорема о неявной функции - общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции. Она устанавливает, что если левая сторона уравнения R(x, y) = 0 дифференцируема и удовлетворяет некоторому условию её частной производной в некоторой точке (a, b) такой что R(a, b) = 0, тогда она определяет функцию y = f(x) на некотором интервале содержащем a. Геометрически, график, определённый уравнением R(x,y) = 0 будет частично пересекаться с графиком некоторого уравнения y = f(x).

Производная неявной функции

Рассмотрим область f(x, y) = 0 показанную на рисунке. Давайте зададим следующий вопрос: “В отдельной точке области, какое значение имеет величина dy/dx?” На этот вопрос может быть дан ответ во всех точках области кроме P1, P2, P3 and P4 (в этих точках dy/dx не существует – принимает значение бесконечности) и этот ответ:

\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}}{\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}}

Имея уравнение вида f(x, y) = 0, при определённых условиях, мы можем рассматривать одну из переменных как функцию другой в окрестности отдельной точки (x0, y0), которая удовлетворяет уравнению. Условия, которые должны быть, изложены в теореме о неявной функции.

Дифференцирование неявной функции

Если к нас есть уравнение, такое, что f(x, y, ... , u) = 0, которое определяет переменную как функцию других неявно, то есть два способа вычисления производной.

Непосредственное дифференцирование

Рассматривая отдельную переменную как зависимую переменную, если возможно решить уравнение для зависимой переменной с точки зрения независимых переменных, мы можем вычислить производную непосредственно при помощи формулы.

Пример. Вычислите \frac{dy}{dx} для уравнения y - 3x^2 + 5x + 1 = 0 .

Решение. Переписав уравнение для y получим

y = 3x^2 - 5x - 1

и вычислим производную непосредственно как \frac{dy}{dx} = 6x - 5.

Неявное дифференцирование

Необходимо решить какая переменная будет рассматриваться как зависимая, а какая - как независимая. Пусть y будет рассматриваться как зависимая переменная в f(x, y) = 0. Касательно y как зависимой переменной, дифференцируем уравнение относительно независимой переменной x и затем решаем итоговое выражение для \frac{dy}{dx}. Этот метод известен как неявное дифференцирование.

Пример. Вычислить \frac{dy}{dx} для выражения x^5 + x^2y^3 - y^6 + 7 = 0 .

Решение. Дифференцируя неявно, мы получим

\dfrac{dx^5}{dx}+\big(y^3\dfrac{dx^2}{dx}+x^2\dfrac{dy^3}{dx}\big)-\dfrac{dy^6}{dx}+\dfrac{d(7)}{dx}=0
5x^4 + 2xy^3 + 3x^2y^2\dfrac{dy}{dx} - 6y^5\dfrac{dy}{dx} = 0

Рассчитав это для \frac{dy}{dx} получаем

\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{5x^4+2xy^3}{6y^5-3x^2y^2}

Так как в большинстве случаев произвести вычисления для зависимой переменной сложно или невозможно, обычно используют метод неявного дифференцирования.