Funzioni derivabili

Nel calcolo, la derivata rappresenta la parte principale del cambiamento in una funzione y = ƒ(x) rispetto ai cambiamenti della variabile indipendente. La derivata dy è definita da

dove   è la derivata di ƒ rispetto a x, e dx è una variabile aggiuntiva vera e propria (quindi dy è una funzione di x e dx). La notazione è equivalente all’equazione

,dove la derivata è rappresentata dalla notazione di Leibniz dy/dx, ed è coerente con quello che riguarda le derivate come quoziente di differenzaiali. Si può anche scrivere:

Il significato preciso delle variabili dy e dx dipende dal contest dell’applicazione e richiede una conoscenza più approfondita della matematica. Il dominio di queste variabili può assumere un significato particolare in geometria se la derivata è considerata come una forma particolare di differziale, o un significato analitico se la derivata è considerata come approssimazione lineare di una funzione incrementale. In fisica, le variabili dx e dy sono spesso molto piccole ("infinitesimali").

Regole di derivazione

Regola della costante
La derivate di una funzione costante è 0. Cioè, se c è un numero reale, allora d/dx[c] = 0.
Regola della somma e della differenza
La somma(o differenza) di due funzioni derivabili è una funzione derivabile ed è la somma (o differenza) delle loro derivate.

d/dx[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)

d/dx[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)

Moltiplicazione per una costante
Se f è una funzione derivabile e c è un numero reale, allora cf è anch’esso derivabile e d/dx[cf(x)] = cf'(x)
Regola delle potenze
Se n è un numero razionale, allora la funzione  f(x) = xn è derivabile e d/dx[xn] = nxn-1
Regola del prodotto
Il prodotto di due funzioni derivabili  f e g, è derivabile. Inoltre , la derivata di fg è data da:

d/dx[f(x)g(x)] = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)

Regola del quoziente
Il quoziente  f/g di due funzioni derivabili, f e g, è anch’esso derivabile per ogni valore di x per g(x) diverso da 0. Inoltre, la derivate di f/g è data da:

d/dx[ f(x)/g(x) ] = (g(x)f'(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]2      g(x) diverso da 0

Regola della catena
Se y = f(u) è una funzione derivabile di u e u = g(x) è una funzione derivabile di x, allora y = f(g(x)) è una funzione derivabile di x e d/dx[f(g(x))] = f'(g(x))g'(x)
Regola generale delle potenze
Se y = [u(x)]n, dove u è una funzione derivabile di x e n è un numero razionale, allora d/dx = [un] = nun-1u'