Пределы

Определение

Значение x является пределом последовательности (x_n) если выполняется следующее условие:

  • Для каждого вещественного \epsilon > 0, существует натуральное N такое, что для любого натурального n > N, выполняется |x_n - x| < \epsilon.

Другими словами, для каждой степени близости \epsilon, бесконечное количество членов последовательности находятся ближе к пределу. В таких случаях (x_n) называется стремящейся к пределу x, и записывается x_n \to x или \lim_{n \to \infty} x_n = x.

Если последовательность стремится к некоторому пределу, то она сходящаяся, в другом случае расходящаяся

Пример

  • Если x_n = c для некоторой константы c, то x_n \to c

Основные свойства

Пусть \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = L_1, \ \lim\limits_{x \rightarrow a} g(x) = L_2

  • \lim\limits_{x \rightarrow a} [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2
  • \lim\limits_{x \rightarrow a} [f(x) \cdot g(x)] = L_1 \times L_2
  • \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2}, \ L_2 \neq 0
  • \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)^a = L_1^a

Запись

\lim_{n \to \infty} x_n = a