Progressões
aritméticas e geométricas
Sequências.Sequências
numéricas. Termo geral da sequência numérica. Progressão aritmética. Progressão geométrica.
Infinitamnete diminuendo progressão
geométrica. Conversão de repetir decimal para uma fracção vulgar
Sequências. Vamos considerar o conjunto dos números naturais: 1,
2, 3, ... , n - 1, n , ... .
Se substituir cada número natural n nesta série por algum número un
, subordinados a uma lei, vamos receber uma nova série de números:
u1, u2, u3, ..., u n - 1,
u n , ... ,
Chamamos de sequência numérica. Um
número un é chamado um termo geral da sequência
numérica.
Exemplos de
sequências numéricas:
2, 4, 6,
8, 10, ... , 2n,
... ;
1, 4, 9,
16, 25, ... , n² , ... ;
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,
... , 1/n , ... .
Progressão aritmética. A sequência numérica, em que cada lado inicia o segundo
termo é igual ao período anterior, adicionou-se a constante para este número de
sequência d,
é chamada uma progressão aritmética. O número d é chamado uma diferença comum. Qualquer expressão de uma
progressão aritmética é calculada pela fórmula:
an = a1 + d ( n - 1 ) .
A soma de n primeiros termos
da progressão aritmética é calculada como:
E x e m p l o: Encontre a soma dos 100 primeiros números ímpares.
S o l u ç â o: Use a última fórmula. Onde a1 =
1, d = 2 .Então, nós temos:
Progressão geométrica. A
sequência numérica, em que cada lado inicia o segundo termo é igual ao período
anterior, multiplicado pela constante para este número de sequência q, é chamado uma progressão
geométrica. O número q
é chamado uma relação comum. Qualquer expressão de uma progressão geométrica é
calculada pela fórmula:
bn = b1 q n - 1 .
A soma de n primeiros
termos da progressão geométrica é
calculada como:
Diminuindo infinitamente a
progressão geométrica. Esta é a
progressão geométrica, com| q | < 1 . Para que a noção de uma soma de diminuendo
infinitamente a progressão geométrica é determinado como um número, para que a
soma do primeiro n
termos da progressão considerado sem barreiras aproxima a um aumento do número
ilimitado n .
A soma da progressão geométrica diminuindo infinitamente é calculada pela fórmula:
E x e m p l o.
Encontre a soma da progressão geométrica infinitamente decrescente:
S o l u ç ã o. Use a última fórmula.
Onde b1= 1, q = 1/2. Então, nós
temos:
Conversão de um decimal repetindo
uma fracção vulgar. Assuma que
queremos converter o decimal repetindo 0.(3) Para uma fracção vulgar. Considere
isso decimal na formulação mais natural:
Esta é a progressão geométrica
infinitamente diminuindo com o primeiro termo 3/10 e a relação comum q =
1/10. De acordo com a formula indicada acima da última soma é igual: