Addizione/sottrazione

L'addizione tra vettori implica la somma di componenti dei vettori. Geometricamente, questo può essere interpretato come la somma di vettori 'punta-coda.' Per sommare due vettori, devono avere lo stesso numero di componenti (per esempio, un vettore bidimensionale non può essere sommato a un vettore tridimensionale). Per esempio, sia u=[3,1] e v=[2,5]. Per sommare u + v, si devono sommare le rispettive componenti x e y,

In due e tre dimensioni, la somma vettoriale può essere interpretata geometricamente. Il metodo 'punta-coda' coinvolge i vettori da sommare insieme partendo dall'inizio di ogni vettore fino alla fine del precedente (la 'punta' del primo vettore è dove si posiziona la 'coda' del vettore successivo.) The end result can be found by finding the vector that starts at the tail of the first vector, and ends at the tip of the last vector. Per esempio, sia u=[2,1], v=[4,4], e w=[1,3]. Il risultato è il seguente:

Il vettore risultante u + v + w=[7,8] è lo stesso che si trova sommando le componenti dei tre vettori. Una addizione simile può essere eseguita con vettori a 3 dimensioni ponendo i vettori punta-coda, e trovando il vettore che va dal punto di partenza alla fine dell'ultimo vettore da sommare. Per esempio, sia u=[3,1,-2] e v=[4,0,3]. Sommando le componenti, troviamo che u + v = [3 + 4, 1 + 0, (-2) + 3] = [7,1,1].

(Nell'esempio precedente, u ha una componente negativa nella direzione z. Le componenti del vettore possono essere qualsiasi numero reale, positivo o negativo.)

Quando si sommano i vettori in Rn, è possibile sommare semplicemente le loro componenti. If u=[u1, u2, ..., un] e v=[v1, v2, ..., vn], allora u + v=[u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn]

1 | Troviamo la somma dei vettori in Rn dove n>3

La sottrazione vettoriale si ottiene semplicemente facendo una addizione in negativo. Partiamo da due dimensioni per semplicità. Sia v=[2,3] e w=[4,1]. Allora che cos'è v - w? Per trovare v - w, usiamo il fatto che v - w = v + (-w). Allora per trovare -w, tutto quello che dobbiamo fare è cambiare il segno di tutte le componenti di w. Quindi, dal momento che w=[4,1], -w=[-4,-1], e aggiungendo le componenti, v + (-w) =[2 + (-4), 3 + (-1)] = [2-4, 3-1] = [-2, 2]. Quindi v - w=[-2, 2]. Geometricamente, prendendo il negativo di un vettore si ottiene un vettore che ha la stessa lunghezza, ma che punta nella direzione opposta. Mostriamo l'esempio precedente in modo geometrico qui di seguito,

Quando si considera un vettore negativo, è molto importante cambiare il segno di ogni componente di tale vettore. So, se u=[2, -3, 0, 4] in R4, allora -u=[-2, 3, 0, -4]. Poiché la formula per la lunghezza di un vettore comporta la quadratura di ciascun componente, allora |u| = |-u|. Come con la somma vettoriale, i vettori coinvolti devono avere lo stesso numero di componenti. La sottrazione geometrica dei vettori in 2 o 3 dimensioni is still done by the tip-to-tail method, ma il vettore da sottrarre deve essere girato nella direzione opposta (che è l'equivalente di cambiare il segno di ciascun componente.)

Moltiplicazione per scalare

La moltiplicazione coinvolgendo anche vettori non è esattamente la stessa moltiplicazione ordinaria che coinvolge solo scalari. La moltiplicazione scalare coinvolge la moltiplicazione di uno scalare per un vettore. Sia k uno scalare, e u un vettore in Rn. Dato che u=[u1, u2, ..., un], allora il prodotto ku=[ku1, ku2, ..., kun]. Questa è la moltiplicazione scalare. Ogni componente del vettore u è semplicemente moltiplicato per lo scalare k. Il risultato è un vettore, e

Se k>0, allora ku ha la stessa direzione di u, con lunghezza k|u|
Se k=0, allora ku è il vettore nullo (il punto di partenza è lo stesso, ma la lunghezza è zero)
Se k<0, allora ku ha direzione opposta rispetto u, con lunghezza |k||u|

Abbiamo già usato la moltiplicazione scalare nella sottrazione, dove (-1)u = -u. Come ci si aspetta 1u=u. La tabella seguente riassume le proprietà di somma/sottrazione vettoriale e moltiplicazione scalare viste fino ad ora.

1) u + v = v + u
2) u + (v + w) = (u + v) + w
3) u - v = u + (-v)
4) k(u + v) = ku + kv
5) Siano a,b scalari. a(bu) = (ab)u = (ba)u
6) (a + b)u = au + bu
7) |ku| = |k||u|
8) u - u = u + (-u) = 0 (Vettore nullo)

Importante: |u + v| ≤ |u| + |v|