Angle entre deux vecteurs

Le produit scalaire nous permet de trouver une formule pratique pour calculer l'angle entre deux vecteurs. Cette formule utilise la loi du cosinus qui est une règle géométrique vérifiée dansR2etR3uniquement, mais qui peut servir à développer d'autres formules valides dans Rn

Soit vecteurs  et   deuxvecteurs dans  R2R.
Alors l'angle entre eux se calcule à l'aide de la formule:

cos

(Remarque :d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a

On l’utilise aussi comme définition dans Rn, même si la loi du cosinus ne s’applique pas pour n

Exemple :

  =[1,1] ,   =[-3, 2].Trouvez l’angle entre les deux vecteurs.

cos  =   =   =   donc

On utilise la fonction inverse du cosinus pour déterminer   . On ne tombe pas sur un nombre entier de degrés (ou radians), donc on laisse la formule sous cette forme à moins qu’il nous soit demandé de fournir une valeur approchée.

Autre exemple :

Trouver l’angle entre les vecteurs   =   et   =

cos  =   =   =   =   =

Afin de trouver la valeur exacte de l’angle dans l’exemple précédent, on peut utiliser la table fournissant des valeurs exactes du cosinus : on a donc pour cos     l’angle   45°