L'area Delta (alcune volte denotata con sigma) di un triangolo DeltaABC con i lati a, b, c e corrispondenti agli angoli A, B, e C è data da

Delta=1/2bcsinA
(1)
=1/2casinB
(2)
=1/2absinC
(3)
=1/4sqrt((a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c))
(4)
=1/4sqrt(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4)
(5)
=(abc)/(4R)
(6)
=rs,
(7)

dove R è il circumcerchio, r è l'inraggio, e s=(a+b+c)/2 è il semiperimetro (Kimberling 1998, p. 35; Trott 2004, p. 65).

Una formula particolarmente interessante per Delta è quella di Heron

 Delta=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)).
(8)

Se il triangolo è specificato da vettori u e v con l'origine in un vertice, allora l'area è data da metà di quella del parallelogramma corrispondente, cioè,

A=1/2|det(uv)|
(9)
=1/2|uxv|,
(10)

dove det(A) è il determinante e uxv è il prodotto vettoriale bidimensionale (Ivanoff 1960).

Esprimendo le lunghezze dei lati a, b, e c in termini di raggi a^', b^', e c^' dei cerchi tangenti reciprocamente incentrati sui vertici del triangolo (definiti cerchi di Soddy),

a=b^'+c^'
(11)
b=a^'+c^'
(12)
c=a^'+b^',
(13)

dà una forma particolarmente bella

 Delta=sqrt(a^'b^'c^'(a^'+b^'+c^')).
(14)

Per formule aggiuntive, controllare Beyer (1987) e Baker (1884), che forniscono 110 formule per l'area del triangolo.

TriangleInscribing

Nella figura qui sopra, il circumcerchio passa attravero i vertici del triangolo che hanno raggio R, e denota gli angoli centrali dal primo punto al secondo theta_1, e il terzo punto da theta_2. Allora l'area del triangolo è data da

 Delta=2R^2|sin(1/2theta_1)sin(1/2theta_2)sin[1/2(theta_1-theta_2)]|.
(15)

L'area (con segno) di un triangolo planare specificata dai relativi vertici v_i=(x_i,y_i) per i=1, 2, 3 è data da

Delta=1/(2!)|x_1 y_1 1; x_2 y_2 1; x_3 y_3 1|
(16)
=1/2(-x_2y_1+x_3y_1+x_1y_2-x_3y_2-x_1y_3+x_2y_3).
(17)

Se il triangolo è incorporato in uno spazio tridimensionale con le coordinate dei vertici fornite da v_i=(x_i,y_i,z_i), allora

 Delta=1/2sqrt(|y_1 z_1 1; y_2 z_2 1; y_3 z_3 1|^2+|z_1 x_1 1; z_2 x_2 1; z_3 x_3 1|^2+|x_1 y_1 1; x_2 y_2 1; x_3 y_3 1|^2).
(18)

Può essere scritta in forma concisa come

Delta=1/2|(x_2-x_1)x(x_1-x_3)|
(19)
=1/2|(x_3-x_1)x(x_3-x_2)|,
(20)

dove AxB denota il prodotto vettoriale.

Se i vertici di un triangolo sono specificati in esatte coordinate trilineari come a_i^':b_i^':c_i^', allora l'area del triangolo è

 Delta^'=(abc)/(8Delta^2)|a_1 b_1 c_1; a_2 b_2 c_2; a_3 b_3 c_3|,
(21)

dove Delta è l'area del triangolo di riferimento (Kimberling 1998, p. 35). Per trilineari classici, l'equazione diventa

 Delta^'=(abcDelta)/((aalpha_1+bbeta_1+cgamma_1)(aalpha_2+bbeta_2+cgamma_2)(aalpha_3+bbeta_3+cgamma_3))|alpha_1 beta_1 gamma_1; alpha_2 beta_2 gamma_2; alpha_3 beta_3 gamma_3|.
(22)