Résolution d'un système d'équations linéaires en utilisant l'inverse d'une
matrice carrée
On peut écrire un système d'équations linéaires
comme une équation entre des matrices :
[A] [X]=[K]
Pour le système suivant,
Le problème consiste à trouver x, y, z et t
pour que les éléments de la matrice [A].[X] soient les éléments de [K].
Si on peut trouver
[A]-1, on peut multiplier les deux membres de l'équation
matricielle par [A]-1, ce qui
donne :
[A].[X] = [K]
[A]-1.[A].[X] = [A]-1.[K]
[I]. [X] = [A]-1.[K]
[X] = [A]-1.[K]
Vous pouvez vous référer au chapitre sur les matrices pour en savoir plus sur l'inverse d'une matrice, ou voir l'exemple 2 plus bas.
Et pour rappel : une matrice carrée A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Exemple 1 : résolution d'un système à 2 inconnues
Soit le système de 2 équations à 2 inconnues :
On a successivement :
Soit : x1 = 3, x2 = 1.
Exemple 2 : calcul de l'inverse d'une matrice
Soit la matrice réelle :
Calculons d'abord le déterminant de la matrice A. Pour cela, nous utilisons les propriétés des déterminants. En effet, si nous observons cette matrice, nous constatons que si nous soustrayons la colonne 2 de la colonne 3, nous faisons apparaître deux zéros dans ce déterminant, et cela nous facilite le calcul du déterminant.
Le déterminant étant non nul, la matrice A est inversible.
Calculons la matrice des cofacteurs de A, c'est-à-dire la matrice obtenue en remplaçant chaque élément de A par son cofacteur:
Transposons maintenant la matrice obtenue:
Il nous reste à diviser chaque terme de la matrice par le déterminant. La matrice obtenue est la matrice inverse de A: