Moltiplicazione per scalare

La moltiplicazione di uno scalare per una matrice A = (aij) e uno scalare r dà un prodotto r A della stessa dimensione di A. Le entry di r A sono date da

 (r\mathbf{A})_{ij} = r \cdot a_{ij}. \,

Per esempio, se

\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

allora

 r \cdot \mathbf{A}=\begin{bmatrix} r \cdot a & r \cdot b \\ r \cdot c & r \cdot d \end{bmatrix}.

Se ci occupiamo di matrici su un anello in generale, allora la matrice qui sopra è una moltiplicazione sinistra della matrice A con lo scalare r mentre la moltiplicazione destra è definita come

 (\mathbf{A}r)_{ij} = a_{ij} \cdot r. \,

Quando l'underlying ring è commutativo, per esempio nel campo dei numeri reali o complessi, le due moltiplicazione si equivalgono. Tuttavia, se l'anello non è commutativo, come i quaternioni, possono essere diversi. Per esempio


  i\begin{bmatrix} 
    i & 0 \\ 
    0 & j \\ 
  \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
    -1 & 0 \\
     0 & k \\
  \end{bmatrix}
\ne \begin{bmatrix}
    -1 & 0 \\
    0 & -k \\
  \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
    i & 0 \\
    0 & j \\
  \end{bmatrix}i.