Progressões aritméticas e geométricas

Sequências.Sequências numéricas. Termo geral da sequência numérica. Progressão aritmética. Progressão geométrica. Infinitamnete diminuendo progressão geométrica. Conversão de repetir decimal para uma fracção vulgar

Sequências. Vamos considerar o conjunto dos números naturais: 1,  2,  3, ... ,  n - 1,  n , ... .
Se substituir cada número natural n nesta série por algum número un , subordinados a uma lei, vamos receber uma nova série de números:

u1,   u2,   u3, ...,   u n - 1,   u n  , ... ,

Chamamos de sequência numérica. Um número un  é chamado um termo geral da sequência numérica.
Exemplos de sequências numéricas:

2,   4,   6,   8,   10,  ... ,  2n,  ... ;

1,   4,   9,   16,   25,  ... ,  n² , ... ;

1,  1/2,  1/3,  1/4,  1/5,  ... , 1/n , ... .

Progressão aritmética. A sequência numérica, em que cada lado inicia o segundo termo é igual ao período anterior, adicionou-se a constante para este número de sequência d, é chamada uma progressão aritmética. O número d é chamado uma diferença comum. Qualquer expressão de uma progressão aritmética é calculada pela fórmula:

an =  a1 + d ( n - 1 ) .

A soma de  n primeiros termos da progressão aritmética é calculada como:

E x e m p l o: Encontre a soma dos 100 primeiros números ímpares.
S o l u ç â o: Use a última fórmula. Onde 
a1 = 1,   d = 2 .Então, nós temos:

Progressão geométrica. A sequência numérica, em que cada lado inicia o segundo termo é igual ao período anterior, multiplicado pela constante para este número de sequência q, é chamado uma progressão geométrica. O número q é chamado uma relação comum. Qualquer expressão de uma progressão geométrica é calculada pela fórmula:

bn =  b1  q n - 1  .

A soma de n primeiros termos da progressão geométrica é calculada como:

Diminuindo infinitamente a progressão geométrica. Esta é a progressão geométrica, com| q | < 1 . Para que a noção de uma soma de diminuendo infinitamente a progressão geométrica é determinado como um número, para que a soma do primeiro n termos da progressão considerado sem barreiras aproxima a um aumento do número ilimitado n . A soma da progressão geométrica diminuindo infinitamente é calculada pela fórmula:

E x e m p l o.  Encontre a soma da progressão geométrica infinitamente decrescente:

S o l u ç ã o. Use a última fórmula. Onde  b1= 1,   q = 1/2. Então, nós temos:

                                                                             

Conversão de um decimal repetindo uma fracção vulgar. Assuma que queremos converter o decimal repetindo 0.(3) Para uma fracção vulgar. Considere isso decimal na formulação mais natural:

Esta é a progressão geométrica infinitamente diminuindo com o primeiro termo 3/10 e a relação comum q = 1/10. De acordo com a formula indicada acima da última soma é igual: