Le calcul du déterminant d'une matrice est un outil fort utile : il permet par exemple de vérifier qu'une matrice est inversible ou de calculer son inverse. Il sert aussi dans l'analyse et la solution de systèmes d'équations linéaires : grâce à la Règle de Cramer, on sait qu'un système d'équations linéaires ayant autant d'équations que d'inconnues a une unique solution si le déterminant de la matrice de coefficients est non nul (cad, la matrice est non singulière). 

Par exemple, le fait d'éliminer x, y, et z des équations

a_1x+a_2y+a_3z=0
(1)
b_1x+b_2y+b_3z=0
(2)
c_1x+c_2y+c_3z=0
(3)

nous donne l'expression

 a_1b_2c_3-a_1b_3c_2+a_2b_3c_1-a_2b_1c_3+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1=0,
(4)

qui est appelée le déterminant de ce système d'équations. 

Les déterminants ne sont définis que pour des matrices carrées.

Si le déterminant d'une matrice vaut 0, la matrice est dite singulière (elle est régulière dans le cas contraire), et si le déterminant est égal à 1, la matrice est dite unimodulaire.

Le déterminant d'une matrice A,

 |a_1 a_2 ... a_n; b_1 b_2 ... b_n; | | ... |; z_1 z_2 ... z_n|
(5)

se note  det(A), |A|sum(+/-a_1b_2c_3...), D(a_1b_2c_3...), ou encore |a_1b_2c_3...| (Muir 1960). La notation det(A) est la plus pratique lorsque l'on parle de la valeur absolue d'un déterminant, c'est à dire |det(A)| au lieu de ||A||

Le déterminant d'une matrice 2x2 se définit comme suit : 

 det[a b; c d]=|a b; c d|=ad-bc.
(6)

Le déterminant d'une matrice k×k se définit comme suit : 

 |a_(11) a_(12) a_(13) ... a_(1k); a_(21) a_(22) a_(23) ... a_(2k); | | | ... |; a_(k1) a_(k2) a_(k3) ... a_(kk)|=a_(11)|a_(22) a_(23) ... a_(2k); | | ... |; a_(k2) a_(k3) ... a_(kk)| 
 -a_(12)|a_(21) a_(23) ... a_(2k); | | ... |; a_(k1) a_(k3) ... a_(kk)|+...+/-a_(1k)|a_(21) a_(22) ... a_(2(k-1)); | | ... |; a_(k1) a_(k2) ... a_(k(k-1))|.
(7)

Et en généralisant, le déterminant de la matrice A : 

 |A|=sum_(i=1)^ka_(ij)C_(ij),
(8)

où la somme ne s'applique pas à j et où C_(ij) (que l'on peut aussi noter a^(ij)) est le cofacteur de a_(ij) défini par :

 C_(ij)=(-1)^(i+j)M_(ij).
(9)

et M_(ij) est le mineur de la matrice A obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j de A. Ce procédé s'appelle le développement du déterminant par la méthode des mineurs (ou "Développement de Laplace").

On peut aussi calculer le déterminant d'une matrice au moyen des  permutations en algèbre linéaire. En effet, il existe le théorème suivant :

Théorème Soit $ M$ une matrice $ n \times n$ et $ M=(m_{ij})$. Alors,
$\displaystyle \det (M)= \sum_{\sigma \in S_n}sg(\sigma)m_{1\sigma (1)}m_{2\sigma (2)}\ldots m_{n\sigma (n)}$

 $ sg(\sigma)$ est le signe de $ \sigma$.

Par exemple, avec  n=3, les permutations et le nombre d'inversions qu'elles contiennent sont 123 (0), 132 (1), 213 (1), 231 (2), 312 (2), et 321 (3), donc le déterminant s'obtient ainsi : 

 |a_1 a_2 a_3; b_1 b_2 b_3; c_1 c_2 c_3| =a_1b_2c_3-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1.
(10)

Si a est une constante et A est une matrice carrée n×n, alors :

 |aA|=a^n|A|.
(11)

Pour le déterminant d'une matrice n×n, l'opposé est

 |-A|=(-1)^n|A|.
(12)

Les déterminants sont aussi distributifs, donc :

 |AB|=|A||B|.
(13)

Ceci signifie que le déterminant d'une matrice inverse peut se calculer ainsi : 

 |I|=|AA^(-1)|=|A||A^(-1)|=1,
(14)

I est la matrice identité, donc

 |A|=1/(|A^(-1)|).
(15)

Les déterminants sont multilinéaires par rapport aux lignes et aux colonnes, puisque : 

 |a_1 a_2 a_3; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|=|a_1 0 0; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|+|0 a_2 0; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|+|0 0 a_3; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|
(16)

et

 |a_1 a_2 a_3; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|=|a_1 a_2 a_3; 0 a_5 a_6; 0 a_8 a_9|+|0 a_2 a_3; a_4 a_5 a_6; 0 a_8 a_9|+|0 a_2 a_3; 0 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|.
(17)

Le determinant d'une matrice de transformation similaire est égal au déterminant de la matrice d'origine.

|BAB^(-1)|=|B||A||B^(-1)|
(18)
=|B||A|1/(|B|)
(19)
=|A|.
(20)

Le déterminant d'une transformation similaire moins un multiple de la matrice identité est donné par la formule : 

|B^(-1)AB-lambdaI|=|B^(-1)AB-B^(-1)lambdaIB|
(21)
=|B^(-1)(A-lambdaI)B|
(22)
=|B^(-1)||A-lambdaI||B|
(23)
=|A-lambdaI|.
(24)

Le déterminant d'une matrice et de sa transposée sont égaux,

 |A|=|A^(T)|,
(25)

et le déterminant d'un complexe conjugué est égal au complexe conjugué du déterminant

 |A^_|=|A|^_.
(26)

Soit epsilon un nombre infiniment petit, alors

 |I+epsilonA|=1+epsilonTr(A)+O(epsilon^2),
(27)

Tr(A) est la trace de la matrice A. Le déterminant prend une forme particulièrement simple pour une matrice triangulaire : 

 |a_(11) a_(21) ... a_(k1); 0 a_(22) ... a_(k2); | | ... |; 0 0 ... a_(kk)|=product_(n=1)^ka_(nn).
(28)

Propriétés importantes du déterminant :  

1. Permuter deux lignes ou colonnes d'une matrice change le signe du déterminant.

2. Si on multiplie une ligne (ou colonne) de la matrice M par le scalaire c, le déterminant de la matrice obtenue est égal à c fois le déterminant de la matrice.

3. Les multiples des lignes et colonnes peuvent être additionnées sans changer la valeur du déterminant.

4. Si on multiplie une colonne de la matrice M par le scalaire c, le déterminant de la matrice obtenue est égal à c fois le déterminant de la matrice M.

5. Si la matrice M a une ligne ou colonne de zéros, le déterminant est égal à 0.

6. Si deux lignes ou colonnes de M sont égales, le déterminant est égal 0.

La 1ère propriété se démontre par induction. Pour une matrice 2×2, le déterminant vaut

|a_1 b_1; a_2 b_2|=a_1b_2-b_1a_2
(29)
=-(b_1a_2-a_1b_2)
(30)
=-|b_1 a_1; b_2 a_2|
(31)

Pour une matrice 3×3, le déterminant vaut

 |a_1 b_1 c_1; a_2 b_2 c_2; a_3 b_3 c_3|=a_1|b_2 c_2; b_3 c_3|-b_1|a_2 c_2; a_3 c_3|+c_1|a_2 b_2; a_3 b_3| 
=-(a_1|c_2 b_2; c_3 b_3|+b_1|a_2 c_2; a_3 c_3|-c_1|a_2 b_2; a_3 b_3|)=-|a_1 c_1 b_1; a_2 c_2 b_2; a_3 c_3 b_3| 
=-(-a_1|b_2 c_2; b_3 c_3|+b_1|a_2 c_2; a_3 c_3|+c_1|b_2 a_2; b_3 a_3|)=-|b_1 a_1 c_1; b_2 a_2 c_2; b_3 a_3 c_3| 
=-(a_1|c_2 b_2; c_3 b_3|-b_1|c_2 a_2; c_3 a_3|+c_1|b_2 a_2; b_3 a_3|)=-|c_1 b_1 a_1; c_2 b_2 a_2; c_3 b_3 a_3|.
(32)

Pour la 2ème propriété : pour des matrices de type 2×2et 3×3,

|ka_1 b_1; ka_2 b_2|=k(a_1b_2)-k(b_1a_2)
(33)
=k|a_1 b_1; a_2 b_2|
(34)

et

|ka_1 b_1 c_1; ka_2 b_2 c_2; ka_3 b_3 c_3|=ka_1|b_2 c_2; b_3 c_3|-b_1|ka_2 c_2; ka_3 c_3|+c_1|ka_2 b_2; ka_3 b_3|
(35)
=k|a_1 b_1 c_1; a_2 b_2 c_2; a_3 b_3 c_3|.
(36)

La 3ème propriété découle de l'égalité suivante

 |a_1+kb_1 b_1 c_1; a_2+kb_2 b_2 c_2; a_3+kb_3 b_3 c_3|=(a_1+kb_1)|b_2 c_2; b_3 c_3|-b_1|a_2+kb_2 c_2; a_3+kb_3 c_3|+c_1|a_2+kb_2 b_2; a_3+kb_3 b_3|.
(37)

Si a_(ij) est une matrice  n×na_(ij) sont des réels, alors  det[a_(ij)] a pour représentation le volume orienté du parallélépipède construit sur les vecteurs [a_(i,1)], ..., [a_(i,n)] dans R^n

Le parallélépipède construit sur les vecteurs v_1.. v_i de dimension n est la collection de points

 t_1v_1+...+t_iv_i,
(38)

t_j est un nombre réel dans l'interval fermé [0,1].

DetComplexMatrix

Hadamard a démontré que la valeur absolue du déterminant de la matrice complexe de taille n×n  dont les éléments sont bornés (inclus dans le disque de rayon 1) satisfait l'équation : 

 |detA|<=n^(n/2)
(39)

(Brenner). Les graphiques précédents montrent la distribution des déterminants pour des matrices complexes aléatoires de taille  n×n dont les éléments satisfont la condition  |a_(ij)|<1 pour n=2, 3, et 4.