Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum

Máximo divisor comum (GCD) or Maior factor comum (HCF) de dois inteiros positivos é o maior inteiro positivo que divide os dois números, sem resto. É útil para reduzir as fracções de ser nos seus termos mais baixos. Veja abaixo métodos para encontrar GCD.

Menor múltiplo comum (LCM) de dois inteiros é o menor número inteiro que é um múltiplo de dois números. Veja abaixo métodos para encontrar LCM.

Pode encontrar o GCD e LCM de dois inteiros usando a calculadora abaixo.

Como encontrar o máximo divisor comum

Existem algumas maneiras de encontrar o máximo divisor comum. Abaixo estão algumas delas.

Por exemplo, vamos tentar encontrar o HCM de 24 e 60.

 

Método de factoração

Usando este método, primeiro, encontre a factorção de cada número.

24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

Em seguida, encontramos os factores primos comuns destes dois números.

24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

Os factores primos comuns são 2, 2 e 3. O máximo divisor comum de 24 e 60 é o produto desses factores primos comuns, ou seja, 2 × 2 × 3 = 12.


Divisão por primos

Primeiro divida todos os números pelo menor primo divisíl por todos eles, O menor primo que divide 24 ou 60 é 2.

2

24 60

 

12 30

Continue os passos até não encontrar qualquer número primo que possa dividir todo o número do lado direito.

2

24 60

2

12 30

3

6  15

 

2  5

O GCD é 2 × 2 × 3 = 12.


Algoritmo Euclidiano

Este algoritmo encontra o GCD realizando a divisão repetida a partir de dois números que queremos encontrar o GCD até chegarmos a um saldo de 0.

Por exemplo, 24 e 60, abaixo estão os passos para encontrar o GCD usando o algoritmo de Euclides.

Vejamos outro exemplo, encontrar o GCD de 40 e 64.


Como encontrar o menor múltiplo comum

Alguns métodos para encontrar o menor múltiplo comum são

Por exemplo, vamos tentar encontrar o LCM, de 24 e 60.


Método de Factoração

Usando este método, primeiro, encontre a factoração de cada número e escreva-o em forma de índice.

24 = 23 × 3
60 = 22 × 3 × 5

O menor múltiplo comum é o produto de cada um dos factores primos com a maior potência. Assim, para o exemplo acima, o LCM é 23 × 3 × 5 = 120.


Divisão por primos

Primeiro divida todos os números pelo menor primo divisíl por todos eles, O menor primo que divide 24 ou 60 é 2.

2

24 60

 

12 30

Continue os passos até que tenhamos todos os números primos do lado esquerdo e na parte inferior.

2

24 60

2

12 30

3

6  15

 

2  5

O LCM é 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120.


Fórmula

Se soubermos o máximo divisor comum (GCD) de inteiros a e b, podemos calcular o LCM usando a seguinte fórmula

LCM(a,b) =

a × b

GCD(a,b)


Usando de volta o mesmo exemplo acima, podemos encontrar o LCM, de 24 e 60 do seguinte modo.

LCM(24,60) =

24 × 60

= 120

12

Claro, que podemos usar esta fórmula para encontrar o GCD de dois inteiros, se soubermos o LCM.