Derivada da função paramétrica

Considere uma curva paramétrica dada por 

Para obter t, num intervalo I, onde f e g são funções contínuas.

Considere também um ponto (x0,y0) que se encontra sobre esta curva, portanto x0 = f(t0) e  y0 = g(t0), no tempo específico t0.

Com alguma sorte, existe uma vizinhança desse ponto em que a curva pode ser descrita utilizando uma função y = y (x). 

Na seção de funções paramétricas em funções – Teoria temos um teorema que tem uma condição suficiente para que isso aconteça. Essa condição traduz-se por  f '(t0  0.

Esta condição significa que f estará quer aumentando ou diminuindo em t0, portanto, nesse momento a curva move-se para a esquerda ou para a direita, quando passa pelo ponto dado. O teorema afirma que podemos descrever a curva usando uma função nele descrita. Podemos imaginar que a função f é realmente 1-1em torno do tempo dado, desse modo podemos encontrar o seu inverso, t = f-1(x) e usá-lo para eliminar t das equações.

y(x) = gf-1(x)),

Se assumirmos que  f e g são diferenciáveis em  t0,toda a função no lado direito é diferenciável e portanto também será y(x) e temos até uma fórmula para a derivada. Fica mais interessante ainda se usarmos a fórmula para a derivada da função inversa. Obtemos então o seguinte teorema:

Teorema:
Considere a curva paramétrica dada por 
   para t em qualquer intervalo I.

Assuma que f e g são diferenciáveis num qualquer t0 do interior de I e que f '(t0  0. Então existe uma vizinhança de t0 em que a parte correspondente da curva pode ser expressa utilizando uma função y = y(x). 
Além disso, esta função é diferenciável em x0 = f(t0) e temos

Usámos as funções f e g em vez de escrever o tradicional x = x(t), y = y(t) para a descrição das coordenadas. Se optássemos pela maneira tradicional, teríamos coisas como t = x-1(x), onde o primeiro x é uma função e o segundo é a variável, bastante confuso para um principiante. Mas agora que temos uma resposta, poderá ser interessante reescrever isto nos termos tradicionais, recordando que o ponto é a notação para derivada em ordem ao tempo.

Fica ainda mais interessante quando usamos a notação de Leibniz.

Agora parece um cancelamento normal, assim a notação de Leibniz faz de novo as coisas parecerem naturais.

Observe a interacção entre o raciocínio temporal e o espacial. Podemos ver esta curva como um objecto comum no plano, ou podemos vê-la como um registo de algum movimento no tempo. Quando queremos uma derivada em relação á coordenada x num ponto no espaço, a fórmula relaciona-a a uma expressão que apresenta derivadas temporais, naturalmente também substituímos o tempo, nomeadamente exactamente o tempo em que chegamos ao ponto dado. Isto é bastante natural, mas pode ser confuso se não se for cuidadoso o suficiente. Ao investigar as curvas paramétricas, é preciso manter presente o que é espacial e o que é temporal.

Tendo a formula para a primeira derivada, podemos diferencia-la uma vez mais para obter o seguinte.

Teorema:

Considere uma curva paramétrica tal como no teorema anterior com todas as propriedades lá descritas. Assuma além disso que f e g são duplamente diferenciáveis em t0. Então a função y = y(x) é também duplamente diferenciável em x0 = f(t0) e temos

Usando a notação tradicional para uma curva paramétrica obtemos

Como é que obtivemos este resultado?

Então, basta substituir em x0, usando  f-1(x0) = t0 e está feito.

Exemplo: Considere a curva paramétrica 
x = t·et
y = t3 + 6t  para t 
  -1. 
Prove que numa vizinhança de (e,7) podemos expressar esta curva usando uma função e encontre a sua derivada.

Solução: O tempo correspondente ao ponto é dado t0 = 1. Vemos que (1) = 2e, o qual não é igual a zero, e por conseguinte a existência de uma função y = y(x) na vizinhança de (e,7) está provado.

Pelo teorema acima, temos também

Mudando curvas paramétricas em funções

Nós sabemos como diferenciar uma expressão espacial local, agora voltamos para o problema da decomposição de uma determinada curva em partes que podem ser expressas por funções. Sabemos que a alteração de equações paramétricas para uma função é feita por eliminação, para o qual precisamos da função x(t) ser 1-1. Uma maneira simples de reconhecer intervalos de injetividade é a utilização de derivadas.

Assuma que podemos dividir o intervalo I em sub-intervalos nos quais a derivada (t) existe e não é zero e tem o mesmo sinal. Então em cada um destes intervalos, a derivada deve ser positiva ou negativa, por conseguinte x deve ser aí 1-1. Assim, os segmentos da curva, que correspondem ao tempo, retirados de cada um destes intervalos constituintes são exactamente os segmentos que podem ser (pelo menos teoricamente) expressos como funções.

Note que o sinal da derivada  (t) também dá informação adicional, que é útil quando se investiga a curva dada. Quando  (t) > 0, então a curva vai para a direita; quando  (t) < 0, então a curva vai para a esquerda. Isso aproxima-nos do tema do esboço duma determinada curva.

Vida de insecto

Agora voltamos aonde começámos. O objectivo desta secção foi para esquecer movimentações e reduzir curvas paramétricas a imagens e funções. Fomos bem-sucedidos, e teremos que aprender a esboçar curvas paramétricas. Mas por enquanto, vamos ver que outras informações podem ser deduzidas de uma curva paramétrica.

Dado que uma curva paramétrica é um registo de um movimento, uma questão natural é sobre a velocidade instantânea em qualquer ponto. Nós temos uma fórmula para isso.

Como é que podemos obtê-la? Assuma que um insecto está no momento t num lugar e em seguida move-se por um tempo dt. No espaço, isto significa movimento por dx e dy, mas como x y são funções de t, obtemos as fórmulas de transformação.

dx =   ·dt,    dy =   ·dt.

(Veja a notação de Leibniz no capítulo de introdução.) Como movimentámo-nos por um tempo infinitamente curto, a curva não teve tempo para curvar e podemos pensar nela  como uma linha recta.

Assim, a mudança ds na posição s pode ser calculada usando a regra de Pitágoras:

Quando dividimos por dt, obtemos a igualdade desejada, já que a velocidade é exactamente a derivada temporal da posição.

Podemos aprender mais, por exemplo, podemos calcular o comprimento do caminho percorrido, mas isso requer integração. Na teoria dos integrais, você vai aprender a calcular a área da região dada por uma curva paramétrica, e o centro da gravidade.