Функция, определена уравнением вида [в общем виде,
]. Если
- зависимая переменная, то
определяет
как неявную функцию переменной
.
Пусть y связана с x уравнением
и предположим геометрическое место точек, как показано на рисунке.
Мы не можем сказать, что это функция
, т.к. определённому значению переменной
более одного значения переменной
(т.к., на рисунке прямая перпендикулярная оси
пересекает область более чем в одной точке) а функция по определению однозначна. Хотя уравнение выше не определяет
как функцию
, мы можем сказать, что на определённых специально выбранных сегментах области y может рассматриваться как однозначная функция
[выраженная как
]. Например, сегмент P1P2 может быть отделён как область определения функции
. Впоследствии, принято говорить, что уравнение определяет
неявно заданной функцией
; или говорят, что
это неявная функция
.
Теорема о неявной функции - общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции. Она устанавливает, что если левая сторона уравнения дифференцируема и удовлетворяет некоторому условию её частной производной в некоторой точке
такой что
, тогда она определяет функцию
на некотором интервале содержащем
. Геометрически, график, определённый уравнением
будет частично пересекаться с графиком некоторого уравнения
.
Рассмотрим область показанную на рисунке. Давайте зададим следующий вопрос: “В отдельной точке области, какое значение имеет величина
?” На этот вопрос может быть дан ответ во всех точках области кроме P1, P2, P3 and P4 (в этих точках
не существует – принимает значение бесконечности) и этот ответ:
Имея уравнение вида , при определённых условиях, мы можем рассматривать одну из переменных как функцию другой в окрестности отдельной точки
, которая удовлетворяет уравнению. Условия, которые должны быть, изложены в теореме о неявной функции.
Если к нас есть уравнение, такое, что , которое определяет переменную как функцию других неявно, то есть два способа вычисления производной.
Рассматривая отдельную переменную как зависимую переменную, если возможно решить уравнение для зависимой переменной с точки зрения независимых переменных, мы можем вычислить производную непосредственно при помощи формулы.
Пример. Вычислите для уравнения
.
Решение. Переписав уравнение для получим
и вычислим производную непосредственно как .
Необходимо решить какая переменная будет рассматриваться как зависимая, а какая - как независимая. Пусть y будет рассматриваться как зависимая переменная в . Касательно
как зависимой переменной, дифференцируем уравнение относительно независимой переменной
и затем решаем итоговое выражение для
. Этот метод известен как неявное дифференцирование.
Пример. Вычислить для выражения
.
Решение. Дифференцируя неявно, мы получим
Рассчитав это для получаем
Так как в большинстве случаев произвести вычисления для зависимой переменной сложно или невозможно, обычно используют метод неявного дифференцирования.