Determinantes são objectos
matemáticos que são muito uteis na análise e solução de sistemas de equações
lineares. Como mostrado pela regra de Cramer, um sistema não homogéneo de
equações lineares tem uma solução única se o determinante da matriz do sistema
é diferente de zero (ou seja, a matriz é não singular). Por exemplo,
eleminando
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(1) |
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(2) |
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Dá a
expressão
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Qual é chamado determinante para
este sistema de equação? Determinantes são definidos apenas para matrizes
quadradas.
Se o determinante de uma matriz é 0,
a matriz diz-se que é singular, e se o determinante é 1, diz-se que é
unimodular.
O determinante de uma matriz
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(5)
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É normalmente designado
Um
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Um
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(7)
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O determinante geral para uma matriz
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(8)
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Sem adição implícita sobre
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(9)
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e
Um factor determinante, também pode
ser calculado para anotar todas as permutações de
Por exemplo, com
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(10)
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Se
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(11)
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Dada uma
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Determinantes
também são distributivos, então
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Isto significa que o determinante de
uma matriz inversa pode ser encontrado como se segue:
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Onde
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Determinantes são multiliniares em
linhas e colunas, uma vez que
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e
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(17)
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O determinante da transformação da
semelhança de uma matriz é igual ao determinante da matriz original
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O determinante de uma transformação
da semelhança, menos um múltiplo de matriz é dado pela unidade
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(22)
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O determinante de uma transposição é
igual ao determinante da matriz original,
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E o determinante de um conjugado
complexo é igual ao conjugado complexo do determinante
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(26)
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Deixe
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Onde
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Propriedades importantes do
determinante são as seguintes, que incluem a invariância sob linha de
elementares e operações de colunas.
1. Mudar duas linhas ou colunas muda
o sinal.
2. Escalares podem ser levados para
fora de linhas ou colunas.
3. Múltiplos de linhas e colunas
podem ser adicionados em conjunto, sem alterar o valor determinante.
4. Multiplicação escalar de uma
linha por uma constante multiplica o determinante pelo
5. A determinante com uma linha ou
coluna de zeros tem valor 0.
6. Qualquer determinante com duas
linhas ou colunas iguais tem valor 0.
Propriedade 1 pode ser estabelecida
por indução. Para uma
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Para uma
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Propriedade 2 segue o mesmo, para
uma
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e
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Propriedade
3 resulta da identidade
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Se
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Onde
Hadamard mostrou que o valor absoluto
do determinante de um complexo
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(Brenner). As parcelas acima mostram a distribuição dos determinantes
aleatoriamente