Suites arithmétiques et géométriques

Définition d'une suite arithmétique. Terme général d'une suite arithmétique.
Suite géométrique. Suite géométrique décroissante 
Ecrire sous forme de fraction un nombre décimal

En mathématiques, une suite (parfois appelée séquence) est une famille d'éléments indexée par les entiers naturels. Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble E, cette suite peut être assimilée à une application de N dans E. 

On note une suite (un)

Définition d'une suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant une constante r, appelée la raison.
                 u n + 1 = u n  + r  .

Théorème : Si (un) est une suite arithmétique de raison r, alors pour tous les entiers naturels n et p on a :  

u n u 0  +  nr   et  plus généralement  u n  = u p  + (n - p). r  

(u0 est le terme initial et le nombre un est appelé terme général de la suite).

Exemple :  1,  3,  5,  7,  9,  11,  13... est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1

2,   5,   8,  11,   14,   17,  ... est une suite de raison 3 et de premier terme 2

1,   4,   9,   16,   25,  ... ,  n² , ... ;

1,  1/2,  1/3,  1/4,  1/5,  ... , 1/n , ... .

La somme des premiers termes d'une suite arithmétique :

\sum_{0 \le p \le n}u_p={(n+1)\over 2}(u_0+u_n)

Exemple : trouvez la somme des 100 premiers nombres impairs.
Solution :  On utilise la formule précédente et celle indiquant que  u n u 0  +  nr:  

Définition d'une suite géométrique : une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant par multiplication par un coefficient constant appelé raison. Les termes de cette suite se calculent ainsi : 
u_{n+1} =q\times u_n\ ;\ \ u_0=a.

La somme des n premiers termes d'une suite géométrique : 

Si E =\R ou \C (ou n'importe quel autre corps commutatif) et si (u_n )_{n\in\N} est une suite géométrique de raison q de E alors, pour tout n\in\N et pour tout m\in\N :

\sum_{p=m}^{p=n}u_p= \dfrac{u_m - u_{n+1}}{1 - q} = u_0\,q^m\,\dfrac{1 - q^{n+1-m}}{1 - q} pour q différent de 1
\sum_{p=m}^{p=n}u_p= (n-m+1) \, u_0 pour q = 1

ou plus simplement (somme des premiers termes)  :

S =  \text{premier terme}\times \dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}  si la raison est différente de 1.

Convergence :

Dans \R


Somme des termes d'une suite géométrique infiniment décroissante :  Comme énoncé précédemment, si la suite bn est infiniment décroissante alors  |q| < 1\,,  et la somme des termes se calcule grâce à la formule :

Exemple : Trouver la somme de la suite géométrique infiniment décroissante : 

Solution : On utilise la formule précédente.  b1= 1,   q = 1/2. Donc 

                                                                             

Ecrire sous forme de fraction un nombre décimal On veut écrire le nombre décimal 0.3333 - que l'on notera  0.(3)  - sous forme de fraction.



C'est une suite géométrique infiniment décroissante qui a pour premier terme 3/10 et pour raison q = 1/10. Selon la formule précédente :

    3/10         3/10      3        1
--------  =  ------  = ---  = ---  Donc 0.(3) = 1/3
1- 1/10        9/10       9        3

et  0.3333 = 1/3