Wenn auch das System der linearen Gleichungen mit den Unbekannten gegeben ist
. Es ist erforderlich, ihre allgemeine Lösung zu finden, wenn sie gemeinsam ist, oder, ihre Inkompatibilität, festzustellen. Die Methode, die in diesem Abschnitt dargelegt sein wird, ist an der Methode der Berechnung der Determinante 5.1.с und zur Methode des Verbleibs des Ranges der Matrix (der Abschnitt 5.8) nah. Der angebotene Algorithmus heißt von der Gaußschen Methode oder der Methode der konsequenten Ausnahme der Unbekannten. .
Wir werden die ausgedehnte Matrix des Systems ausschreiben
Wir werden die elementaren Operationen die folgenden Verfahren mit den Matrizen nennen:
- Die Umstellung der Zeilen;
- Die Multiplikation der Zeile auf die Zahl, verschieden von der Null;
- Die Addition der Zeile mit anderer Zeile, die auf die Zahl multipliziert ist.
Wir werden, dass bei der Lösung des Systems der Gleichungen, im Unterschied zur Berechnung der Determinante und des Verbleibs des Ranges bemerken, man darf nicht mit den Spalten operieren.
Der Leser wird, dass wenn nach der Matrix, die aus
dem Ausführen des elementaren Verfahrens bekommen ist leicht prüfen, das System der Angleichungen wieder herzustellen, so wird das neue System ausgangs-gleichbedeutend sein.
Das Ziel des Algorithmus - mit Hilfe der Anwendung der Reihenfolge des elementaren Verfahrens zur Matrix
dass jede Zeile zu streben, außer, kann, erster sein, fing mit den Nullen an, und die Zahl der Nullen bis zum ersten nicht Nullelement in jeder nächsten Zeile war grösser, als in vorhergehend.
Der Schritt des Algorithmus besteht im Folgenden. Wir finden die erste nicht Nullspalte in der Matrix
. Wenn auch es die Spalte mit der Nummer wird. Wir finden darin das nicht Nullelement und die Zeile mit diesem Element wir tauschen von den Plätzen mit der ersten Zeile. Um der zusätzlichen Bezeichnungen nicht zu häufen, werden wir meinen, dass solcher Wechsel der Zeilen in der Matrix
schon erzeugt ist, das heißt
. Dann werden wir zur zweiten Zeile erste, multipliziert auf
die Zahl hinzufügen, zur dritten Zeile werden wir erste, multipliziert auf
die Zahl hinzufügen, usw. werden wir die Matrix Daraufhin bekommen
(Die ersten Nullspalten fehlen in der Regel.)
Wenn sich in der Matrix
die Zeile mit der Nummer getroffen hat, in der alle Elemente
der Null gleich sind, und
, so ist das Ausführen des Algorithmus angehalten eben folgern wir, dass das System inkompatibel ist. Wirklich, das System der Gleichungen nach der ausgedehnten Matrix wieder herstellend, werden wir bekommen, dass die. Angleichung aussehen wird
Dieser Gleichung gen[gt keinen Satz der Zahlen nicht
.
Die Matrix
kann man in der Formt speichern
wo
In Bezug auf die Matrix
ist der beschriebene Schritt des Algorithmus erfüllt. Wir bekommen die Matrix
wo
,
. Diese Matrix kann man in Formt wieder speichern
Und zur Matrix
ist der höher beschriebene Schritt des Algorithmus wieder anwendbar.
Der Prozess bleibt stehen, wenn nach dem Ausführen des nächsten Schrittes die neue verringerte Matrix aus ein Nullen oder besteht wenn alle Zeilen erschöpft sind. Wir werden bemerken, dass der Schluss über Inkompatibilität,die Systeme den Prozess und früher anhalten konnte.
Wenn wir die Matrix nicht verringern würden, so würden zur Matrix der Art im Endeffekt gekommen sein
Weiter wird der sogenannte Rücklauf der Gaußschen Methode erfüllt. Nach der Matrix
bilden wir das System der Angleichungen. Im linken Teil ist die Unbekannten mit den Nummern, die den ersten nicht Nullelementen in jeder Zeile entsprechen, das heißt gelassen
. Wir werden bemerken, dass
. Die übrigen Unbekannten verlegen wir zum rechten Teil. Einschließlich unbekannt ist es im rechten Teil von einigen fixierten Größen, unkompliziert, durch sie die Unbekannten des linken Teiles zu äußern.
Jetzt, dem Unbekannten im rechten Teil die willkürlichen Werte gebend, und die Werte variabel des linken Teiles ausrechnend, werden wir verschiedene Lösungen des Ausgangssystems finden
. Um die allgemeine Lösung zu speichern, muss man Unbekannter in rechten Teil in irgendwelcher Ordnung von den Buchstaben bezeichnen
, einschließend und jene Unbekannte, die offenbar im rechten Teil wegen der Nullkoeffizienten nicht ausgeschrieben sind, auch dann die Spalte der Unbekannten in Form von der Spalte speichern, wo jedes Element eine lineare Kombination willkürlicher Größen wird
(insbesondere von einer einfach willkürlichen Größe
). Diese Aufnahme wird eine allgemeine Lösung des Systems eben.
Wenn das System gleichartig war, so werden wir die allgemeine Lösung des gleichartigen Systems bekommen. Die Koeffizienten bei
, genommen in jedem Element der Spalte der allgemeinen Lösung, werden die erste Lösung aus dem grundlegenden System der Lösungen, die Koeffizienten bei
-- die zweite Lösung usw. bilden.
Das grundlegende System der Lösungen des gleichartigen Systems kann man und anderer Weise bekommen. Dazu muss man einem variabel, verlegt zu den rechten Teil, den Wert 1, und übrig - die Nullen verleihen. Die Werte variabel im linken Teil ausgerechnet, werden wir eine Lösung aus dem grundlegenden System bekommen. Anderem variabel im rechten Teil den Wert 1 verliehen, und werden wir übrig - die Nullen, die zweite Lösung aus dem grundlegenden System usw. bekommen
Wenn auch das System der linearen Gleichungen mit den Unbekannten gegeben ist. Es ist erforderlich, ihre allgemeine Lösung zu finden, wenn sie gemeinsam ist, oder, ihre Inkompatibilität, festzustellen. Die Methode, die in diesem Abschnitt dargelegt sein wird, ist an der Methode der Berechnung der Determinante 5.1.с und zur Methode des Verbleibs des Ranges der Matrix (der Abschnitt 5.8) nah. Der angebotene Algorithmus heißt von der Gaußschen Methode oder der Methode der konsequenten Ausnahme der Unbekannten.