L'aire Delta (parfois appelée sigma) d'un triangle  DeltaABC ayant pour côtés a, b, c et pour angles correspondants A, B, et C se définit ainsi :

Delta=1/2bcsinA
(1)
=1/2casinB
(2)
=1/2absinC
(3)
=1/4sqrt((a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c))
(4)
=1/4sqrt(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4)
(5)
=(abc)/(4R)
(6)
=rs,
(7)

où R est le  rayon du cercle circonscrit,  r est le rayon du cercle inscrit, et s=(a+b+c)/2 est le semi périmètre.

Une formule à retenir pour  Delta est la formule de Héron :

 Delta=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)).
(8)

Si un triangle est définit par les vecteurs  u et v ayant pour origine l'un des sommets du triangle, alors l'aire est égale à la moitié de l'aire du parallélogramme correspondant, c'est à dire : 

A=1/2|det(uv)|
(9)
=1/2|uxv|,
(10)

où  det(A) est le déterminant. 
Rappel : pour deux vecteurs u et v de composantes u(x, y) et v(x', y'), le déterminant de (u,v) est le réel  xy' - x'y (on fait le produit en croix).

Soient  a, b, c les côtés du triangle et  a^', b^', c^' les rayons des cercles mutuellement tangeants centrés sur les côtés du triangle, (ce qui définit les cercles de Soddy),

a=b^'+c^'
(11)
b=a^'+c^'
(12)
c=a^'+b^',
(13)

alors l'aire se définit par la formule :

 Delta=sqrt(a^'b^'c^'(a^'+b^'+c^')).
(14)

Il existe d'autres formules, notamment celle de Beyer (1987) et Baker (1884), qui proposent 110 formules pour définir l'aire d'un triangle.

TriangleInscribing

Dans le schéma ci-dessus, soit le cercle circonscrit au triangle, de rayon R, et soit les angles ( theta_1et theta_2) formés par les rayons du cercle passant par les sommets du triangle. Alors l'aire du triangle peut se calculer ainsi : 

 Delta=2R^2|sin(1/2theta_1)sin(1/2theta_2)sin[1/2(theta_1-theta_2)]|.
(15)

L'aire (signée) d'un triangle définit par  v_i=(x_i,y_i) pour i=1, 2, 3 est définie par :

Delta=1/(2!)|x_1 y_1 1; x_2 y_2 1; x_3 y_3 1|
(16)
=1/2(-x_2y_1+x_3y_1+x_1y_2-x_3y_2-x_1y_3+x_2y_3).
(17)

Si le triangle se trouve dans un espace à trois dimensions, et que les coordonnées de ses sommets sont données par  v_i=(x_i,y_i,z_i), alors

 Delta=1/2sqrt(|y_1 z_1 1; y_2 z_2 1; y_3 z_3 1|^2+|z_1 x_1 1; z_2 x_2 1; z_3 x_3 1|^2+|x_1 y_1 1; x_2 y_2 1; x_3 y_3 1|^2).
(18)

Ce qui peut s'écrire sous la forme simple et concise :

Delta=1/2|(x_2-x_1)x(x_1-x_3)|
(19)
=1/2|(x_3-x_1)x(x_3-x_2)|,
(20)

AxB est le produit en croix.

Si les sommets d'un triangle sont des coordonnées trilinéaires par exemple a_i^':b_i^':c_i^', alors l'aire du triangle est : 

 Delta^'=(abc)/(8Delta^2)|a_1 b_1 c_1; a_2 b_2 c_2; a_3 b_3 c_3|,
(21)

Delta est l'aire d'un triangle de référence (Kimberling 1998). Pour des coordonnées trilinéaires arbitraires, l'équation devient alors : 

 Delta^'=(abcDelta)/((aalpha_1+bbeta_1+cgamma_1)(aalpha_2+bbeta_2+cgamma_2)(aalpha_3+bbeta_3+cgamma_3))|alpha_1 beta_1 gamma_1; alpha_2 beta_2 gamma_2; alpha_3 beta_3 gamma_3|.
(22)