A área Delta (por vezes, também notada como sigma) de um triângulo DeltaABC com comprimentos laterais a, b, c e os ângulos correspondentes  A, B, e C  é dada pela

Delta

=

1/2bcsinA

(1)

=

1/2casinB

(2)

=

1/2absinC

(3)

=

1/4sqrt((a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c))

(4)

=

1/4sqrt(2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4)

(5)

=

(abc)/(4R)

(6)

=

rs,

(7)

Onde R é o raio de circunferência, r é o raio interior, e s=(a+b+c)/2 é o semi-perimetro.

Uma fórmula particularmente bonita Delta é a fórmula de Heron

 Delta=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)).

(8)

Se um triângulo é especificado pelos vectores u e v originários de um vértice, então a área é dada por metade do paralelograma correspondente, ou seja,

A

=

1/2|det(uv)|

(9)

=

1/2|uxv|,

(10)

Onde det(A) é o determinante e uxv é o produto transversal bidimensional.

Expressando os comprimentos laterais a, b, e c  em termos dos raios a^', b^', e c^' dos círculos mutuamente tangentes centrados nos vértices do triângulo (que definem os círculos Soddy),

a

=

b^'+c^'

(11)

b

=

a^'+c^'

(12)

c

=

a^'+b^',

(13)

Resultando numa forma particularmente bonita

 Delta=sqrt(a^'b^'c^'(a^'+b^'+c^')).

(14)

Para fórmulas adicionais, ver Beyer e Baker, que dão 110 fórmulas para a área de um triângulo.

TriangleInscribing

Na figura acima, deixe o circumcirclo passar sobre  a vértices do polígono do triângulo com raio R, e denotam os ângulos centrais a partir do primeiro ponto para o segundo theta_1, e do terceiro ponto de theta_2. Então, a área do triângulo é dada pela

 Delta=2R^2|sin(1/2theta_1)sin(1/2theta_2)sin[1/2(theta_1-theta_2)]|.

(15)

A área (assinado) de um triângulo planar especificado por seus vértices v_i=(x_i,y_i) para  i=1, 2, 3 é dado pela

Delta

=

1/(2!)|x_1 y_1 1; x_2 y_2 1; x_3 y_3 1|

(16)

=

1/2(-x_2y_1+x_3y_1+x_1y_2-x_3y_2-x_1y_3+x_2y_3).

(17)

Se o triângulo é incorporado no espaço tri dimensional com as coordenadas dos vértices dadas pela v_i=(x_i,y_i,z_i), então

 Delta=1/2sqrt(|y_1 z_1 1; y_2 z_2 1; y_3 z_3 1|^2+|z_1 x_1 1; z_2 x_2 1; z_3 x_3 1|^2+|x_1 y_1 1; x_2 y_2 1; x_3 y_3 1|^2).

(18)

Isto pode ser escrito na forma simples concisa

Delta

=

1/2|(x_2-x_1)x(x_1-x_3)|

(19)

=

1/2|(x_3-x_1)x(x_3-x_2)|,

(20)

Onde AxB indica o produto cruzado

Se os vértices do triângulo são especificados em coordenadas exactas como trilineares a_i^':b_i^':c_i^', então a área do triângulo é

 Delta^'=(abc)/(8Delta^2)|a_1 b_1 c_1; a_2 b_2 c_2; a_3 b_3 c_3|,

(21)

Onde Delta é a área do triângulo de referência. Para trilinear arbitrarias, a equação torna-se então

 Delta^'=(abcDelta)/((aalpha_1+bbeta_1+cgamma_1)(aalpha_2+bbeta_2+cgamma_2)(aalpha_3+bbeta_3+cgamma_3))|alpha_1 beta_1 gamma_1; alpha_2 beta_2 gamma_2; alpha_3 beta_3 gamma_3|.

(22)