L'indicatrice d'Euler est une fonction
de la théorie des nombres.
En mathématique pure, elle intervient à la fois en théorie des
groupes, en théorie algébrique des nombres et en théorie
analytique des nombres.
La fonction indicatrice est aussi appelée fonction phi d'Euler ou simplement la fonction phi, car la lettre φ est communément utilisée pour la désigner.
Définition
l'indicateur d'Euler φ est la fonction de l'ensemble ℕ* des entiers strictement positifs dans lui-même qui à n associe le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n et premiers avec n.
Plus formellement,
par exemple :
Calcul de la valeur de l'indicatrice d'Euler
La valeur de l'indicatrice d'Euler s'obtient par
l'expression de n donnée par le théorème fondamental de
l'arithmétique :
Dans la formule, pi désigne un nombre
premier et ki un entier
strictement positif.
En effet, le caractère multiplicatif de
l'indicatrice d'Euler et une récurrence montrent que :
Applications
L'indicatrice d'Euler est une fonction
essentielle de l'arithmétique modulaire, elle est à la base de résultats fondamentaux,
à la fois en mathématiques pures et appliquées.
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(1)
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D'autres formules impliquant la fonction d'Euler :
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Pour divisible par
et
le nombre d'entiers positifs
non divisibles par
. Comme vu précédemment,,
,
, ...,
ont des facteurs communs, donc
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Pour un autre nombre premier divisant
. Les entiers divisibles par
sont
,
, ...,
. Le nombre de termes qui doit être soustrait de
pour obtenir
est
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et
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Le cas général est donc
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Une autre formule intéressante lie et
:
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(A. Olofsson, Déc. 30, 2004).
Une autre formule lie les diviseurs de
à
:
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La fonction indicatrice est définie par la formule d'inversion de Möbius dans la formule qui suit :
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où est la fonction de Möbius définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs.
Une série de Dirichlet utilisant est :
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pour (Hardy et Wright 1979).
La fonction indicatrice satisfait aussi l'inégalité :
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pour tout à l'exception de
et
(Kendall et
Osborn 1965; Mitrinović et Sándor 1995). Par conséquent, les seules valeurs de
pour lesquelles
sont
, 4, et 6. De plus,
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(Sierpiński etSchinzel 1988; Mitrinović et Sándor 1995).
satisfait aussi
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où est la constante d'Euler-Mascheroni. Les valeurs de
pour lesquelles
sont 3, 4,
5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, ... (Sloane's A100966).
La fonction diviseur satisfait à la congruence
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| ||
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pour tous les nombres premiers and aucun nombre composé à l'exception de
4, 6, et 22, où
est la fonction diviseur. Ceci a été prouvé par Subbarao (1974). A ce jour, on ne connait pas la solution de
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(Honsberger 1976, p. 35).
Un corollaire du théorème de Zsigmondy mène à la formule suivante :
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(Zsigmondy 1882, Moree 2004, Ruiz 2004ab).
Les premiers pour lesquels on a :
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sont 1, 3, 15, 104, 164, 194, 255, 495, 584, 975, ... (Sloane's A001274), qui ont pour valeurs communes , 2, 8,
48, 80, 96, 128, 240, 288, 480, ... (Sloane's A003275).
Le seul pour lequel
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est , étant donné
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(Guy 2004).
Les valeurs de qui sont proches les unes des autres incluent
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(Guy 2004, p. 139). McCranie a trouvé une suite arithmétique de 6 nombres avec les fonctions indicatrices d'Euleur égales
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ainsi que d'autres suites de 6 nombres commençant par 1166400, 1749600, ... (Sloane's A050518).
Si la supposition de Goldbach est vraie, alors pour chaque entier positif , il existe des nombres premiers
et
tels que
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(Guy 2004).
Guy (2004) a étudié les solutions de
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F. Helenius a trouvé 365 solutions, les premières étant 2, 8, 12, 128, 240, 720, 6912, 32768, 142560, 712800, ... (Sloane's A001229).