O produto de duas matrizes
e
é definido como
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(1)
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Onde é somado ao longo de
todos os valores possíveis de
e
na notação acima usa
a convenção de soma de Einstein. A soma implícita sobre índices repetidos sem a
presença de um sinal de soma explícita é chamado de soma de Einstein, é
normalmente usada em ambas as matrizes e análise tensor. Portanto,
para a multiplicação de matrizes a serem definidas, as dimensões das matrizes
devem satisfazer.
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(2)
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Onde indica uma matriz com
e linhas
colunas. Escreva o
produto explicitamente,
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(3)
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Onde
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(4)
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(5)
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(6)
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(7)
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(8)
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(9)
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(10)
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(11)
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(12)
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Matriz da multiplicação é associativa,
tal como pode ser visto, tornando
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(13)
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Onde, A soma de Einstein é novamente
utilizada, desde que ,
, e
sejam escalares, use a associatividade da multiplicação
escalar para escrever
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(14)
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Desde que isto seja verdade para
todos e
, deve ser verdade que
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(15)
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Ou seja, a multiplicação de matrizes
é associativa. A equação (13) pode portanto ser escrita
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(16)
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Sem ambiguidade. Devido à
associatividade, matrizes formam um semigrupo sob multiplicação.
A multiplicação de matrizes também é
distributiva. Se e
são
matrizes e
e
são
matrizes também.
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(17)
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(18)
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A partir de matrizes formam um
grupo abeliano, sob a adição,
matrizes de formar um
anel.
No entanto, a multiplicação de
matrizes não está, em geral, comutativa (embora se comutativa e
sejam diagonais e da
mesma dimensão).
O produto de duas matrizes de blocos
é dada pela multiplicação de cada bloco
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(19 |