Vecteurs coplanaires
- Trois
vecteurs sont coplanaires
si et seulement si on peut trouver trois représentants de ces
vecteurs situés dans un même plan.
- Trois vecteurs u1,
u2 et u3 sont coplanaires si l’un deux peut s’écrire comme une
combinaison des deux autres c'est-à-dire s’il existe
et
tels que u1 =
u2 +
u3 - Dire que les vecteurs
et
sont
coplanaires équivaut à dire que les points A, B, C et D sont
coplanaires
Exemple :
dans un cube, ABCDEFGH, les points ABCGH ne sont pas coplanaires mais
les vecteurs
,
et
sont
coplanaires. Il suffit pour s'en apercevoir de changer de
représentant pour le vecteur
et
de prendre le vecteur
.

- Si
les vecteurs u, v et w sont coplanaires, alors le produit
mixte
de ces vecteurs est nul.
Rappel,
le produit mixte se définit par :
.
Soit le déterminant de ces trois vecteurs dans
une base orthonormale directe quelconque.

RemarqueLa notion de vecteurs coplanaires est importante pour prouver :
- l'appartenance
d'un point à un plan : le point D appartient au plan ABC si et
seulement si les vecteurs
,
et
sont
coplanaires. - le parallélisme d'une
droite et d'un plan : la droite (AB) est parallèle au plan
(CDE) si et seulement si les vecteurs
,
et
sont
coplanaires.