Il prodotto scalare è una forma di moltiplicazione che coinvolge due vettori con lo stesso numero di componenti. Diversamente dalla moltiplicazione per uno scalare dove il risultato è ancora un vettore, il risultato che si ottiene con il prodotto scalare di due vettori è uno scalare (numero reale). Per trovare il prodotto scalare di due vettori, si moltiplicano come componenti, e troviamo la loro somma. Se abbiamo i vettori u=[u1, u2,...,un] e v=[v1, v2,..., vn], allora il prodotto scalare è dato dalla formula,
u • v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn.
Proprietà del prodotto scalare:
1)u • v = v • u
2)u • (v + w) = u • v + u • w
3)cu • v = c(u • v), dove c è uno scalare
4)u • u ≥ 0, e u • u = 0 se e solo se u = 0
5)||v|| =
Possiamo usare il prodotto scalare insieme alle proprietà di cui sopra per ricavare molte importanti formule e concetti di algebra lineare. Le dimostrazioni per molte di queste possono essere trovate nel libro di testo, ma qui cercheremo proprio le formule e gli esempi di loro usi.