Il prodotto scalare permette di ricavare due importanti disuguaglianze matematiche. Le dimostrazioni sono
lasciate al libro di testo, ma sono elencate qui:
1) Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: |u • v| ≤ ||u|| ||v||
2) Disuguaglianza triangolare: ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||
Abbiamo dimostrato la disuguaglianza trinagolare come nota riguardante la lunghezza del vettore, ma è anche una importante disuguaglianza matematica che viene utilizzato altrove, e va ricordata. È facile verificare che nel piano xy questo è vero (da qui il nome disuguaglianza triangolare),
Si può notare che in R2 e R3, la disuguaglianza triangolare è uguale solo se i due vettori sono collineari, cioè, si trovano esattamente sulla stessa retta quando si mette la punta-coda (come i vettori a e b nell'immagine qui sopra.)