Em geral, um tetraedro é um poliedro com quatro lados.

Se todas as faces são congruentes, do tetraedro é conhecido como um tetraedro isósceles. Se todas as faces são congruentes para um triângulo equilátero, em seguida, o tetraedro é conhecido como um tetraedro regular (embora o termo “tetraedro” sem qualificação é muitas vezes usado para significar “tetraedro regular”). Um tetraedro tem um triedro em todos os ângulos do rosto que são ângulos retos é conhecido como um tetraedro trirectangular.

Em geral (não necessariamente regular) tetraedro, definido como um poliedro convexo consistindo de quatro (e não necessariamente idênticas) faces triangulares podem ser especificadas pelos seus vértices como poliedro (x_i,y_i,z_i), onde i=1, ..., 4. Então o volume do tetraedro é dado por

 V=1/(3!)|x_1 y_1 z_1 1; x_2 y_2 z_2 1; x_3 y_3 z_3 1; x_4 y_4 z_4 1|.

(1)

Especificando o tetraedro pelos três vectores de ponta poliedro a, b, e c a partir de um determinado poliedro vértice, o volume é

 V=1/(3!)|a·(bxc)|.

(2)

Se a aresta entre os vértices i e j é de comprimento d_(ij), então, o volume V é dado pelo determinante Cayley-Menger.

 288V^2=|0 1 1 1 1; 1 0 d_(12)^2 d_(13)^2 d_(14)^2; 1 d_(21)^2 0 d_(23)^2 d_(24)^2; 1 d_(31)^2 d_(32)^2 0 d_(34)^2; 1 d_(41)^2 d_(42)^2 d_(43)^2 0|.

(3)

Considere um tetraedro arbitrário  A_1A_2A_3A_4 Com triângulos T_1=DeltaA_2A_3A_4, T_2=DeltaA_1A_3A_4, T_3=DeltaA_1A_2A_4, e  T_4=DeltaA_1A_2A_3. Deixe que as áreas desses triângulos sejam s_1, s_2, s_3, e s_4, Respectivamente, e indique o angulo diedro com respeito ao T_i  e T_jpara i!=j=1,2,3,4 por theta_(ij). Então, os quarto domínios estão ligados por cara.

 s_k^2=sum_(j!=k; 1<=j<=4)s_j^2-2sum_(i,j!=k; 1<=i,j<=4)s_is_jcostheta_(ij)

(4)

Envolvendo os seis ângulos diedros (Dostor, Lee). Esta é uma generalização da lei dos cossenos para o tetraedro. Além disso, para qualquer i!=j=1,2,3,4,

 V=2/(3l_(ij))s_is_jsintheta_(ij),

(5)

Onde l_(ij)é o comprimento da aresta comum de T_i e T_j(Lee 1997).

Dado um tetraedro rectângulo com um ápice, onde todas as arestas se encontram ortogonalmente e onde a face oposta este ápice é denotado s_k, Então.

 s_k^2=sum_(j!=k; 1<=j<=4)s_j^2.

(6)

Esta é uma generalização do teorema de Pitágoras, que também se aplica aos símplices de dimensões superiores (F. M. Jackson).

Deixe A Sendo o conjunto de arestas de um tetraedro e P(A) o conjunto da potência A. Escreva t^_ para o complement em A de um elementot in P(A). Deixe F sendo o conjunto de triplos {x,y,z} in P(A) de tal modo que x,y,z abrange uma face do tetraedro, e deixe Go conjunto de (e intersection f) union (e union f^_) in P(A), de modo que e,f in F e  e!=f. Em G, existem, portanto, três elementos que são os pares de arestas opostas. Agora defina D, que associa a uma vantagem x de comprimento L a quantidade (L/RadicalBox[1, 3]2)^2, p, que associa um elemento t in P(A) o produto de D(x) para todos x in t, e s, que associa à soma de D(x)para todos l x in t. Então o volume de um tetraedro é dado pela

 sqrt(sum_(t in G)(s(t^_)-s(t))p(t)-sum_(t in F)p(t))

(7)

(P. Kaeser).

O análogo de problema círculo Gauss pode ser solicitado tetraedros: quantos pontos de rede se encontram dentro de um tetraedro centrada na origem com um dado raio. (Lehmer, Granville, Xu e Yau, Guy).

Há um número de teoremas interessantes e inesperados sobre as propriedades em geral (ou seja, não necessariamente regulares) tetraedro (Altshiller-Court). Se um plano divide duas arestas opostas de um tetraedro numa determinada proporção, e depois divide-se o volume do tetraedro na mesma proporção (Altshiller-Court). Pode-se concluir que qualquer plano que passa através de uma mediana de um tetraedro corta o volume do tetraedro (Altshiller-Court).

Deixe os vértices de um tetraedro serem denotados A, B, C, e D, e denote os comprimentos laterais  BC=a, CA=b, AB=c, DA=a^', DB=b^', e DC=c^'. Então, se Deltaindica a área do triângulo com lados de comprimento aa^', bb^', e cc^', o raio do volume do tetraedro e circunstâncias estão relacionadas coma a bonita fórmula.

 6RV=Delta

(8)

(Crelle; von Staudt; Rouché e Comberousse; Altshiller-Court).

Deixe Delta_i ser a área do triângulo esférico formado por i a face de um tetraedro em uma esfera de raio R, e deixe epsilon_i ser o ângulo subtendido pela aresta i. Então

 sum_(i=1)^4Delta_i=[2(sum_(i=1)^6epsilon_i)-4pi]R^2,

(9)

Como mostrado por J.-P. Gua de Malves. A fórmula acima fornece os meios para o cálculo do ângulo sólido subtendido por o vértice de um tetraedro regular substituindo epsilon_i=cos^(-1)(1/3)(o ângulo diedro). Consequentemente,

 Omega=(Delta_i)/(R^2)=3cos^(-1)(1/3)-pi,

(10)

Aproximadamente 0.55129 esterradianos.