Derivative

Определение

Производной функции f в точке a называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, где приращение аргумента \Delta стремится к нулю. Если предел существует, то функцию f называют дифференциируемой в точке a.

f'(a) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(a+\Delta)-f(a)}{\Delta}

Дифференциал представляет собой приращение функции y=f(x). Дифференциал dy определяется как:

dy = f'(x)dx

где f'(x) это производная f по x, и dx дополнительная вещественная переменная (получается, что dy функция переменных x и dx). Такая запись подразумевает

dy = \frac{dy}{dx} dx

где производная записана в нотации Лейбница \frac{dy}{dx}. Также существует запись

df(x) = f'(x)dx

Точное значение переменных dy и dx зависит от контекста и решаемой задачи. Так, например, при решении физических задач, переменные dx и dy часто рассматриваются как пренебрежимо малые значения.

Способы записи

  • Лагранжа : f'(x)

  • Лейбница : \frac{df}{dx}(a)

Правила дифференциирования

Константа

Производная константы равна 0. Таким образом

\dfrac{d}{dx}(c) = 0

Производная суммы и разности

Сумма и разность двух дифференциируемых функций дифференциируема и равна сумме или разности их производных.

\dfrac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)
\dfrac{d}{dx}(f(x) - g(x)) = f'(x) - g'(x)

Умножение на константу

Если f дифференциируема и c вещественное число, то cf также дифференциируема.

\dfrac{d}{dx}(cf(x)) = cf'(x)

Степень

Если n вещественное число, то функция f(x) = x^n дифференциируема.

\dfrac{d}{dx}(x^n) = n\cdot x^{n-1}

Правило произведения

Произведение двух дифференциируемых функций, f и g, также дифференциируемо. Производная f\cdot g равна

\dfrac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)

Правило частного

Частное \frac{f}{g}, двух дифференциируемых функций, f и g, дифференциируемо для x, где g(x)\neq 0. Производная частного \frac{f}{g} равна

\dfrac{d}{dx}( \dfrac{f(x)}{g(x)} ) = \dfrac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{ g(x)^2 }, g(x) \neq 0

Производная сложной функции

Если y = f(u) дифференциируемая функция u и u = g(x) дифференциируемая функция x, то y = f(g(x)) дифференциируемая функция x и

\dfrac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)

Возведение в степень

Если y = u(x)^n, где u дифференциируемая функция x и n рациональное число, то

\dfrac{d}{dx}(u(x)^n) = n\cdot u^{n-1}\cdot u'

Таблица производных

  • (x^\alpha)' = \alpha \cdot x^{\alpha - 1} \ (\alpha = const)
  • (x^x)' = x^x (\ln x + 1)
  • (\sin x)' = \cos x
  • (\cos x)' = - \sin x
  • (\tg x)' \frac{1}{\cos^2 x}
  • (\ctg x)' = - \frac{1}{\sin^2 x}
  • (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
  • (\arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
  • (\arctg x)' = \frac{1}{1 + x^2}
  • (\arcctg x)' = - \frac{1}{1 + x^2}
  • (a^x)' = a^x \ln a
  • (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}
  • (\sh x)' = \ch x
  • (\ch x)' = \sh x
  • (\th x)' = \frac{1}{ch^2 x}
  • (\cth x)' = - \frac{1}{sh^2 x}
  • (e^x)^{\prime} = e^x
  • \ln x^{\prime} = \frac{1}{x}
  • (\sqrt{x})^\prime = \frac{1}{2 \sqrt{x}}