Massimo comun divisore e minimo comune multiplo

Il Massimo comun divisore (MCD) di due interi positivi è il più grande intero positivo che divide entrambi i numeri senza resto. È utile per ridurre le frazioni in minimi termini. Guardare: metodi per trovare il MCD.

Il Minimo comune multiplo (MCM) di due interi è il più piccolo intero che è un multiplo dei due numeri. Guardare: metodi per trovare il MCM.

È possibile trovare il MCD e MCM di due interi usando la calcolatrice qui di seguito.

Come trovare il massimo comun divisore

Ci sono alcuni modi per trovarlo. Di seguito sono riportati alcuni di essi.

Per esempio proviamo a trovare il MCD di 24 e 60.


Metodo fattorizzazione in numeri primi

Usando questo metodo, prima di tutto bisogna trovare la fattorizzazione in numeri primi di ogni numero.

24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

Troviamo o fattori primi comuni di questi due numeri.

24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

I fattori primi comuni sono 2, 2 e 3. Il massimo comun divisore di 24 e 60 è il prodotto di questi fattori primi comuni, es. 2 × 2 × 3 = 12.


Divisione per primi

Innanzitutto dividere tutti i numeri per il numero primo più piccolo che può dividerli tutti. Il primo più piccolo che divide 24 o 60 è 2.

224 60
 12 30

Continuare i passaggi finchè non si riesce a trovare un numero primo che può dividere tutti i numeri sul lato destro.

224 60
212 30
36  15
 2  5

IL MCD è 2 × 2 × 3 = 12.


Algoritmo di Euclide

Questo algoritmo trova il MCD eseguendo divisioni ripetute partendo dai due numeri di cui vogliamo trovare il MCD finchè non otteniamo come resto 0.

Per il nostro esempio, 24 e 60, di seguito sono esposti i passaggi per trovare il MCD utilizzando l'algoritmo di Euclide.

Vediamo un altro esempio, trovare il MCD di 40 e 64.


Come trovare il minimo comune multiplo

Alcuni metodi per trovare il minimo comune multiplo sono

Per esempio proviamo a trovare il MCM di 24 e 60.


Metodo fattorizzazione in numeri primi

Utilizzando questo metodo, prima si trova la fattorizzazione in numeri primi di ogni numero e la si scrive in forma esponenziale.

24 = 23 × 3
60 = 22 × 3 × 5

Il minimo comune multiplo è il prodotto di ogni fattore primo con la massima potenza. Quindi per l'esempio, il MCM è 23 × 3 × 5 = 120.


Divisione per primi

Prima di tutto dividere tutti i numeri per il più piccolo numero primo che divide ciascuno. Il più piccolo numero primo che divide 24 o 60 è 2.

224 60
 12 30

Continuare la procedura fino a quando abbiamo tutti i numeri primi sul lato sinistro e in basso.

224 60
212 30
36  15
 2  5

Il MCM è 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120.


Formula

Se sappiamo che il massimo comun divisore (MCD) degli interi a e b, è possibile calcolare il MCM utilizzando la seguente formula.

MCM(a,b) =a × b
MCD(a,b)


Utilizzando l'esempio precedente, è possibile trovare il MCM di 24 e 60 nel seguente modo.

MCM(24,60) =24 × 60 = 120
12

Naturalmente, è possibile utilizzare questa formula per calcolare il MCD di due numeri interi, se si conosce già il MCM.