Derivata di una funzione implicita

Funzioni implicite. Sia y relativa a x dell’equazione

(1)       f(x, y) = 0

e supponiamo che il locus sia quella mostrata in Figura 1. Non possiamo dire che y sia una funzione di x poichè ad un particolare valore di x è associato più di un valore di y (perchè, nella figura, una linea perpendicolare all’asse x interseca il locus in più di un punto) e una funzione è, per definizione a valore singolo. Sebbene la suddetta equazione (1) non definisce y come una funzione di x, possiamo dire che su alcuni segmenti giudiziosamente scelti del locus y può essere considerata una funzione a valore singolo di x [esprimibile come y = f(x)]. Per esempio, il segmento P1P2 potrebbe essere separato come definizione di una funzione y = f(x). Come conseguenza, si è soliti dire che l'equazione (1) definisce implicitamente y come una funzione di x; e ci riferiamo a y come una funzione implicita di x.

Def. Funzione implicita. E’ funzione definita da un'equazione della forma f(x, y) = 0 [in generale, f(x1, x2, ... , xn) = 0 ]. Se y è pensato come variabile dipendente, f(x, y) = 0 si dice per definire y come funzione implicita di x.

Derivate e funzioni implicite. Consideriamo il locus di f(x, y) = 0 mostrato in Fig. 1. Chiediamoci: “In un punto particolare del locus qual’è il valore della quantità dy/dx?” A questa domanda si può rispondere in tutti I punti del locus tranne P1, P2, P3 e P4 (in questi punti dy/dx non esiste – diventa infinito) e la risposta è:

             

Se abbiamo un'equazione del tipo f(x, y) = 0, e sono soddisfatte alcune condizioni, possiamo visualizzare una delle variabili in funzione delle altre in prossimità di un punto particolare (x0, y0) che soddisfa l’equazione. Le condizioni che devono essere soddisfatte sono indicate nel teorema della funzione implicita.

Derivata di funzioni implicite. Se abbiamo una equazione del tipo f(x, y, ... , u) = 0 che definisce una variabile come una funzione di altri implicitamente, ci sono due tecniche per il calcolo delle derivate.

1. Derivazione diretta. Data una variabile particolare da considerare come variabile dipendente, se è possibile risolvere l’equazione per la variabile dipendente in termini di variabili indipendenti, allora è possibile calcolare la derivate direttamente dalla formula.

 Esempio. Calcoliamo dy/dx per l’equazione y - 3x2 + 5x + 1 = 0 . Soluzione. Risolviamo l’equazione in y e otteniamo

            y = 3x2 -5x -1

e calcoliamo la derivata direttamente in dy/dx = 6x - 5.

strong>2. Derivazione implicita. Decidere quale variabile deve essere considerata variabile dipendente e indipendente. Consideriamo y come variabile dipendente in f(x, y) = 0. Per quanto riguarda la y come variabile dipendente, derivare l’equazione così com’è rispetto alla variabile indipendente x e poi risolvere la relazione risultante per dy/dx. Questo metodo è conosciuto come derivazione implicita.

Esempio. Calcoliamo dy/dx per l’equazione x5 + x2y3 - y6 + 7 = 0 .

SoluzioneDerivazione implicita, otteniamo

             

             

Risolvendo in dy/dx otteniamo

                

Poiché nella maggior parte dei casi è difficile o impossibile da risolvere per la variabile dipendente, di solito si utilizza il metodo di differenziazione implicita.

Teorema. Nell’equazione f(x, y) = 0 che definisce y come una funzione implicita di x, la derivata dy/dx è ottenuta in termini di derivate parziali di f(x, y) by

             

Dim. La derivata totale della funzione z = f(x, y) è ottenuta da

             

Se imponiamo il vincolo che z = f(x, y) = 0 (cioè i valori di x e y sono limitati all’insieme di soluzioni di f(x, y) = 0), allora z è una costante, dz è zero, e la derivata totale diventa

             

Quindi risolvendo in dy/dx, otteniamo

             

Derivate parziali di funzioni implicite.Siano due o più variabili correlate a una equazione del tipo

             F(x, y, z, ...) = 0 .

A patto che siano soddisfatte le condizioni del teorema della funziona implicita, si può assumere una delle variabili e vederla in funzione del resto delle variabili. Se prendiamo z come variabile dipendente, le derivate parziali di z rispetto alle altre variabili sono ottenute da

             

Dim. Ladimostrazione è essenzialmentelastessa come nelcaso f(x, y) = 0 poichè tutte le variabili tranne le due in questione sono trattate come costanti quando si prendono le parti..