Une équation diophantienne est une équation dont les coefficients sont des nombres entiers et dont les solutions recherchées sont également entières. Le terme est aussi utilisé pour les équations à coefficients rationnels.
Le dixième problème de Hilbert
En 1900, Hilbert proposa la résolubilité de tous les problèmes diophantiens comme le dixième de ses célèbres problèmes. En 1970, un nouveau résultat en logique mathématique connu sous le nom de théorème de Yuri Matiyasevich le résolut négativement : en général les problèmes diophantiens ne sont pas résolubles, au sens où l'on peut construire explicitement de tels problèmes pour lesquels l'existence d'une solution est indécidable (dans le système axiomatique où l'on s'est placé ; on construit un polynôme précis en partant de la liste des axiomes).
Une équation diophantienne (à deux variables) est une équation de la forme générale :![]() |
(1)
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où ,
, et
sont entiers. Ces équations peuvent être résolues et la première solution connue fut trouvée par Brahmagupta.
Soit l'équation
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Si l'on utilise une variation de l'algorithme d'Euclide, avec et
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A partir des dernières formules, l'on obtient :
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donc
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On continue le procédé en remontant jusqu'en haut.
Par exemple, prenons l'équation :
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et appliquons l'algorithme précédent :
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(12)
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La solution est donc ,
.
La procédure précédente peut être simplifiée si l'on se penche sur les deux colonnes de gauche
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donc les coefficients et
sont identiques et
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En reprenant l'exemple ci-dessus et en utilisant cette information, on trouve
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et on retombe sur la solution précédente.
Soient et
les solutions de
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Si les signes devant ou
sont négatifs, alors, on résoud l'équation précédente et prend le signe des solutions du tableau qui suit :
equation | ![]() | ![]() |
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En fait, la solution de l'équation
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revient à trouver la fraction continue pour , avec
et
relativement premiers (Olds 1963). S'il existe
termes dans la fraction, on prend le
ème convergent vers
. Mais
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une solution est donc ,
, et la solution générale est :
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où est un nombre entier arbitraire.
A présent, considérons l'équation générale de premier ordre
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Le plus grand commun diviseur d = PGCD (a,b) peut être trouvé grâce à la formule :
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où ,
, et
. Si
, alors
n'est pas un entier et l'équation ne peut pas avoir de solution dans N.
Une condition nécessaire et suffisante pour que l'équation du premier
ordre ait une solution dans N est donc que
. Si c'est le cas, on peut résoudre
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et multiplier les solutions par , car
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D. Wilson a réuni une liste des plus petites nièmes puissances d'entiers positifs qui sont les sommes des nièmes puissances d'entiers positifs distincts plus petits. Les premiers sont 3, 5, 6, 15, 12, 25, 40, ...(Sloane's A030052):
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