Il prodotto C di due matrici A e B è definito come

 c_(ik)=a_(ij)b_(jk),
(1)
dove j è la sommatoria per tutti i possibili valori di i e k e la notazione qui sopra utilizza la sommatoria di Einstein. La sommatoria implicita sopra gli indici ripetuti senza la presenza di un segno esplicito di somma è chiamata sommatoria di Einstein , ed è comunemente usata sia per le matrici che per l'analisi tensoriale. Pertanto, al fine di definire la moltiplicazione fra matrici, le dimensioni delle matrici devono essere

 (n×m)(m×p)=(n×p),
(2)

dove (a×b) denota una matrice con a righe e b colonne. Scrivendo il prodotto in modo esplicito,

 [c_(11) c_(12) ... c_(1p); c_(21) c_(22) ... c_(2p); | | ... |; c_(n1) c_(n2) ... c_(np)]=[a_(11) a_(12) ... a_(1m); a_(21) a_(22) ... a_(2m); | | ... |; a_(n1) a_(n2) ... a_(nm)][b_(11) b_(12) ... b_(1p); b_(21) b_(22) ... b_(2p); | | ... |; b_(m1) b_(m2) ... b_(mp)],
(3)

dove

c_(11)=a_(11)b_(11)+a_(12)b_(21)+...+a_(1m)b_(m1)
(4)
c_(12)=a_(11)b_(12)+a_(12)b_(22)+...+a_(1m)b_(m2)
(5)
c_(1p)=a_(11)b_(1p)+a_(12)b_(2p)+...+a_(1m)b_(mp)
(6)
c_(21)=a_(21)b_(11)+a_(22)b_(21)+...+a_(2m)b_(m1)
(7)
c_(22)=a_(21)b_(12)+a_(22)b_(22)+...+a_(2m)b_(m2)
(8)
c_(2p)=a_(21)b_(1p)+a_(22)b_(2p)+...+a_(2m)b_(mp)
(9)
c_(n1)=a_(n1)b_(11)+a_(n2)b_(21)+...+a_(nm)b_(m1)
(10)
c_(n2)=a_(n1)b_(12)+a_(n2)b_(22)+...+a_(nm)b_(m2)
(11)
c_(np)=a_(n1)b_(1p)+a_(n2)b_(2p)+...+a_(nm)b_(mp).
(12)

La moltiplicazione di matrici è associativa, come si può vedere prendendo

 [(ab)c]_(ij)=(ab)_(ik)c_(kj)=(a_(il)b_(lk))c_(kj),
(13)

dove la sommatoria di Einstein viene di nuovo usata. Ora, dal momento che a_(il), b_(lk), e c_(kj) sono scalari, si usa l'associatività della moltiplicazione scalare per scrivere

 (a_(il)b_(lk))c_(kj)=a_(il)(b_(lk)c_(kj))=a_(il)(bc)_(lj)=[a(bc)]_(ij).
(14)

Poichè questo è vero per ognii e j, deve essere vero che

 (ab)c=a(bc).
(15)

Cioè la moltiplicazione di matrici è associativa. L'equazione (13) può quindi essere scritta come

 [abc]_(ij)=a_(il)b_(lk)c_(kj),
(16)

senza ambiguità. A causa dell'associatività, le matrici formano un semigruppo.

La moltiplicazione di matrici è anche distributiva. Se A e B sono matrici m×n e C e D sono matrici n×p, allora

A(C+D)=AC+AD
(17)
(A+B)C=AC+BC.
(18)

Dal momento che le matrici n×n formano un gruppo abeliano sotto l'addizione, le matrici n×n formano un anello.

Tuttavia, la moltiplicazione di matrici non è, in generale, commutativa (è commutativa se A e B sono diagonali e hanno la stessa dimensione).

Il prodotto di due blocchi di matrici è dato moltiplicando ogni blocco

 [o o    ; o o    ;   o   ;    o o o;    o o o;    o o o][x x    ; x x    ;   x   ;    x x x;    x x x;    x x x] 
 =[[o o; o o][x x; x x]  ;  [o][x] ;   [o o o; o o o; o o o][x x x; x x x; x x x]].
(19)