Máximo
divisor comum e mínimo múltiplo comum
Máximo divisor comum (GCD) or Maior factor comum (HCF) de
dois inteiros positivos é o maior inteiro positivo que divide os dois números,
sem resto. É útil para reduzir as fracções de ser nos seus termos mais baixos. Veja
abaixo métodos para encontrar GCD.
Menor múltiplo comum (LCM) de dois inteiros é o menor número inteiro que é
um múltiplo de dois números. Veja abaixo métodos para encontrar LCM.
Pode encontrar o GCD e LCM de dois
inteiros usando a calculadora abaixo.
Como
encontrar o máximo divisor comum
Existem algumas maneiras de
encontrar o máximo divisor comum. Abaixo estão algumas delas.
Por exemplo, vamos tentar encontrar
o HCM de 24 e 60.
Método de factoração
Usando este método, primeiro,
encontre a factorção de cada número.
24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
Em seguida, encontramos os factores
primos comuns destes dois números.
24 = 2
× 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2
× 3 × 5
Os factores primos comuns são 2, 2 e
3. O máximo divisor comum de 24 e 60 é o produto desses factores primos comuns,
ou seja, 2 × 2 × 3 = 12.
Divisão por primos
Primeiro divida todos os números
pelo menor primo divisíl por todos eles, O menor primo que divide 24 ou 60 é 2.
2 |
24 60 |
|
12 30 |
Continue os passos até não encontrar
qualquer número primo que possa dividir todo o número do lado direito.
2 |
24 60 |
2 |
12 30 |
3 |
6 15 |
|
2 5 |
O GCD é 2 × 2 × 3
= 12.
Algoritmo Euclidiano
Este algoritmo encontra o GCD
realizando a divisão repetida a partir de dois números que queremos encontrar o
GCD até chegarmos a um saldo de 0.
Por exemplo, 24 e 60, abaixo estão
os passos para encontrar o GCD usando o algoritmo de Euclides.
Vejamos outro exemplo, encontrar o
GCD de 40 e 64.
Como
encontrar o menor múltiplo comum
Alguns métodos para encontrar o
menor múltiplo comum são
Por exemplo, vamos tentar encontrar
o LCM, de 24 e 60.
Método de Factoração
Usando este método, primeiro,
encontre a factoração de cada número e escreva-o em forma de índice.
24 = 23
× 3
60 = 22 × 3 × 5
O menor múltiplo comum é o produto
de cada um dos factores primos com a maior potência. Assim, para o exemplo
acima, o LCM é 23 × 3 × 5 = 120.
Divisão por primos
Primeiro divida todos os números
pelo menor primo divisíl por todos eles, O menor primo que divide 24 ou 60 é 2.
2 |
24 60 |
|
12 30 |
Continue os passos até que tenhamos
todos os números primos do lado esquerdo e na parte inferior.
2 |
24 60 |
2 |
12 30 |
3 |
6 15 |
|
2 5 |
O LCM é 2 × 2 × 3
× 2 × 5 = 120.
Fórmula
Se soubermos o máximo divisor comum
(GCD) de inteiros a e b, podemos calcular o LCM usando a seguinte fórmula
LCM(a,b) = |
a
× b |
GCD(a,b) |
Usando de volta o mesmo exemplo acima, podemos encontrar o LCM, de 24 e 60 do
seguinte modo.
LCM(24,60) = |
24
× 60 |
= 120 |
12 |
Claro, que podemos usar esta fórmula
para encontrar o GCD de dois inteiros, se soubermos o LCM.