Lorsque l'on choisit k objets parmi n et que l’ordre dans
lequel les objets sont sélectionnés revêt une importance, on peut les
représenter par un k-uplet d'éléments
distincts et on en constitue une liste ordonnée sans répétition
possible, c'est-à-dire dans laquelle l'ordre des éléments est pris en compte
(si l'on permute deux éléments de la liste, on a une liste différente, et un
élément ne peut être présent qu'une seule fois).
Cette liste ordonnée est
appelée un arrangement.
De combien de façons différentes peut-on arranger les lettres P, Q, R, S ?
La réponse est 4! = 24, parce qu'il y a 4 espaces à remplir : _, _, _, _
Le premier espace peut être rempli par l'une des quatre lettres, le second par l'une des trois lettres restantes, le troisième espace peut être rempli par l'une des deux lettres restantes et l'espace final doit être rempli par la lettre restante. Le nombre total d'arrangements possibles est donc 4 × 3 × 2 × 1 = 4!
Le nombre d'arrangements possibles pour n objets, où l'on a p éléments d'un premier type, q éléments d'un second type, et r éléments d'un troisième type est :
n! .
p!
q! r! …
De combien de façons les lettres du mot: STATISTICS peuvent être arrangées?
Il y a 3 S, 2 I et 3 T dans ce mot, par conséquent, le nombre d'arrangements =
10! = 50 400
3! 2! 3!
Soit un ensemble fini de cardinal
et
un entier naturel. Les combinaisons de cet ensemble sont ses sous-ensembles (ou ses parties). Une
-combinaison de
(ou
-combinaison sans répétition de
, ou encore combinaison sans répétition de
éléments pris
à
) est une partie à
éléments de
.
Nous notons l’ensemble des
-combinaisons de
.
L’ensemble des combinaisons à
éléments de
est fini et son cardinal se note
(ce qui se lit « k parmi n » ) ou encore
(qui se lit « combinaison de k parmi n »), la première notation étant préconisée par la norme ISO, et
, où
est le nombre de
-arrangements de
.
Avec la formule pour on obtient
, qui pour k ≤ n peut aussi s'écrire :
.
Dans un sac, on a 10 boules numérotées de 1 à 10. Trois boules sont choisies au hasard. De combien de façons différentes peut-on tirer les trois boules ?
10C3 =10!=10 × 9 × 8= 120
3! (10 – 3)!3 × 2 × 1
Une permutation d'un ensemble X est une bijection de X sur lui-même.
Notamment, une permutation de n éléments (où n est un entier naturel) est une bijection d'un ensemble fini de cardinal n sur lui-même.
Si X est un ensemble fini de cardinal n, alors l'ensemble des permutations de X est fini, de cardinal n !.Le nombre p(n1, n2, ..., nk) de permutations de n éléments avec n1, n2, ..., nk répétitions est
Ce nombre se note habituellement .
Exemple
Quel est le nombre de permutations possibles avec les lettres du mot indienne ?
Pn (ri = 2; re = 2 ; rn = 3) = 8! / (2! 2! 3! ) = 1680
Les formules précédentes peuvent-être utilisées pour résoudre des problèmes de probabilité..
Au loto, 6 numéros sont tirés parmi 49. Vous gagnez si les 6 numéros que vous avez choisis sont identiques aux numéros tirés par la machine. Quelle est donc la probabilité de gagner au loto ?
Il existe 49C6 = 13 983 816 façons de choisir 6 numéros parmi les 49.
Donc la probabilté de gagner au loto est de 1/13983816 = 0.000 000 071 5, ce qui fait environ 1 chance sur 14 millions.