Das Spatprodukt von Vektoren a,b,c heißt die Zahl .
Das Spatprodukt werden wir (a,b,c) bezeichnen.
Das Spatprodukt (a,b,c) von nicht komplanaren Vektoren ist dem Rauminhalt des Parallelepipedons gleich. Die Seiten des Parallelepipedons sind Vektoren a,b,c, das mit dem Zeichen "+" genommen wurde, falls die Vektoren die rechte Drei bilden, und mit dem Zeichen "-", falls – die Linke.

Die rechte Drei


Die linke Drei

Sei h -- die Höhe des Parallelepipedons. Wenn a,b,c -- die rechte Drei von Vektoren ist, dann , wenn a,b,c -- die linke Drei ist, dann . Da -- Parallelepipedonsrauminhalt ist, so erhalten wir im Fall der rechten Drei und im Fall der linken Drei der Faktoren.

Bemerken Sie, dass wenn die Drei von Vektoren a,b,c die Rechte ist, dann die Dreien c,a,b und b,c,a auch die Rechten sein werden, und die Dreien b,a,c, c,b,a und a,c,b werden die linken Dreien von Vektoren sein.
Da der Rauminhalt des Parallelepipedons hängt nicht ab davon, in welcher Reihenfolge seine Seiten aufgezählt werden, dann



Der Rauminhalt der dreieckigen Pyramide, deren Kanten Vektoren a,b,c, sind, ist gleich.

Die Beweisführung.     Bilden wir ein Parallelepipedon, dessen drei Kanten mit drei Kanten der Pyramide zusammenfallen und aus dem gemeinsamen Punkt ausgehen.


Den Rauminhalt eines Parallelepipedons berechnet man nach der Formel , und den Rauminhalt einer Pyramide -- . Da , dann .
Wir bekommen, dass , und .     
Wir bekommen die Formel für die Ermittlung des Spatprodukts nach den Koordinaten derFaktoren.