Ortogonalidade
Sabemos que o cos θ = 0 quando
θ = 90°. A partir da nossa formula para o ângulo, podemos ver que cos θ
= 0 se e somente se u • v = 0. Isto nos dá a seguinte definição para ortogonalidade.
Dois vectores u e v
são considerados ortogonais se e somente se u • v = 0.Isto é indicado
pela,
u ⊥ v ⇔ u • v = 0
O símbolo '⊥' indica a ortogonalidade. Em R2 e R3,
vectores ortogonais são equivalentes aos vectores perpendiculares (lembre-se
que as linhas perpendiculares ou vectores estão a um ângulo de 90° ângulo recto
um ao outro.) Em Rn, a definição de ortogonalidade permite
generalizar a ideia de vectores perpendiculares, onde nossas ideias habituais
de geometria nem sempre se aplicam. O exemplo a seguir faz uso de nossa
definição de vectores ortogonais.
Podemos usar a ortogonalidade ao
estado do Teorema de Pitágoras, em termos de comprimento de vector. Dado dois
vectores u e v, podemos dizer que eles são ortogonais se e
somente se ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2,
que é
u ⊥ v ⇔ ||u + v||2 = ||u||2
+ ||v||2