Posição da Matriz
Esta lição introduz o conceito da posição da matriz e explica como o
posto de uma matriz é revelada pela sua forma escalonada.
O
posto de uma matriz
Pode pensar em uma r x c
matriz como um conjunto de r vectores de linha, cada um com c elementos,
pode pensar nisso como um conjunto de c vectores de coluna, cada um
tendo r elementos.
O posto de uma matriz é definido
como (a) o número máximo de linearmente independente de vectores coluna na
matriz ou (b) o número máximo de vectores linha linearmente independentes
da matriz. Ambas as definições são equivalentes.
Para uma r x c matriz,
O posto de uma matriz seria zero
somente se a matriz não tivesse elementos. Se uma matriz tem ainda um elemento,
sua classificação mínima seria um.
Como
encontrar o Posto de uma Matriz
Nesta seção, descrevemos um método
para encontrar o posto de qualquer matriz. Este método assume familiaridade com
matrizes escalão e transformações escalão.
O número máximo de vectores
linearmente independentes numa matriz é igual ao número de linhas não-zero da
sua matriz escalonada. Portanto, para encontrar o posto de uma matriz, nós simplesmente
transformamos a matriz na sua forma escalonada e contamos o número de linhas
não-zero.
Considere a matriz A e a sua
linha matriz escalonada, Aref. Anteriormente, nós mostramos
como encontrar a forma escalonada para a matriz A.
|
⇒ |
|
||||||||||||||||||||||
A |
Aref |
Porque a forma escalonada Aref
tem duas linhas diferentes de
zero, sabemos que a matriz A tem dois vectores de linha independente, e
nós sabemos que o posto da matriz A é 2.
Pode verificar se está correcto.
Linha 1 e Linha 2 da matriz A são linearmente independentes. No entanto,
Linha 3 é uma combinação linear das linhas 1 e 2. Especificamente, Linha 3 =
3*( Linha 1 ) + 2*( Linha 2). Portanto, a matriz A tem apenas dois
vectores linha independentes.
Posto
completo de Matrizes
Quando todos os vectores em uma
matriz são linearmente independentes, a matriz é dito ser posto completo. Considere as matrizes A e B abaixo.
A = |
|
|
B = |
|
Observe que a linha 2 da matriz A
é um múltiplo escalar da linha 1; isto é, a linha 2 é igual a duas vezes à
linha 1. Portanto, as linhas 1 e 2 são linearmente dependentes. Matriz A
tem apenas uma linha linearmente independente, pelo que a sua classificação é 1.
Assim, a matriz A não é posto completo.
Agora, olhe para a matriz B. Todas
as suas linhas são linearmente independentes, então o posto da matriz B
é 3. A matriz B é posto completo.
Teste
a sua Compreensão
Problema 1
Considere a matriz X, exibida
abaixo.
X = |
|
Qual é a sua posição?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Solução
A resposta correcta é (C). Uma vez
que a matriz tem elementos maiores do que zero, a sua classificação tem de ser
maior que zero. E uma vez que temos menos linhas do que colunas, a sua classificação
máxima é igual ao número máximo de linhas independentes linearmente. E porque
nenhuma linha é linearmente dependente da outra linha, a matriz tem 2 linhas
linearmente independentes, pelo que a sua posição é de 2.
Problema 2
Considere a matriz Y, exibida
abaixo.
Y = |
|
Qual é a sua posição?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Solução
A reposta correcta é (C). Uma vez
que a matriz tem elementos maiores do que zero, a sua classificação tem de ser
maior que zero. E, uma vez que tem menos colunas que linhas, a sua
classificação máxima é igual ao número máximo de colunas linearmente
independentes.
Colunas 1 e 2 são independentes,
porque não pode ser derivada como múltiplo escalar da outra. No entanto, a
coluna 3 é linearmente dependente das colunas 1 e 2, porque a coluna 3 é igual
ao da coluna 1 e maior que a coluna 2. Isso deixa a matriz com um máximo de
duas colunas linearmente independentes; ou seja., coluna1 e coluna 2. Assim o posto da matriz
é 2.