Projection orthogonale

La dernière partie de notre chapitre sur les vecteurs implique le concept de produit vectoriel et d’orthogonalité pour réaliser la projection vectorielle. Enonçons d’abord sur quelques définitions préliminaires :

Définitions 

Soit     un représentant de    et notons B’ la projection orthogonale de B sur (Δ).

La mesure algébrique de     représentant   est :

    (  ,   ’) 

    pour 0   θ

  =  pour θ

    pour

et géométriquement : à partir de l’origine et de l’extrémité du vecteur   , on se déplace perpendiculairement au segment de droite donnant la direction du vecteur sur lequel on fait la projection orthogonale. Le sens du vecteur projection orthogonale est donné par le vecteur

La projection scalaire (appelée aussi composante) de   sur   est égale à la norme du vecteur projection de   sur   .On la note compuv et elle se définit algébriquement par :

Exemple 1:

Trouver compab et proja b pour a = [1 , 2] et b = [3 , 1]

Puisque compab =   et proja b =   .a on déduit que :

proj ab = compab

Donc compab =   =   =

et proja b =   = [1,2]

et donc   =   = 10

donc

et b-a et a forment un triangle rectangle ; donc la projection de b (l’hypoténuse de ce triangle) sur a est simplement a.

Exemple 2:

a = [2,2,1] et b=[-3,1,4]

compab =   =   =

donc proja b = comp a b   =