Permutazioni e combinazioni

Disposizione degli oggetti

Esempio

In quanto modi possono essere ordinate le lettere P, Q, R, S?

La risposta è 4! = 24.

Questo è perché ci sono quattro spazi da riempire: _, _, _, _

Il primo spazio può essere riempito da uno qualsiasi delle quattro lettere. Il secondo spazio può essere riempito da una delle restanti 3 lettere. Il terzo spazio può essere riempito da una qualsiasi delle rimanenti 2 lettere e l'ultimo spazio deve essere riempito con la lettera rimanente. Il numero totale di ordinamenti possibili è 4 × 3 × 2 × 1 = 4!

n!      .
p! q! r! …

Esempio

In quanti modi si può riordinare la parola: STATISTICS?

Ci sono 3 S, 2 I e 3 T in questa parola, pertanto, il numero di modi di disporre le lettere sono:

10!=50 400
3! 2! 3!

Anelli

Quando il senso orario e antiorario coincidono, il numero di modi è ½ (n – 1)!

Esempio

Dieci persone devono andare ad una festa In quanti modi si possono sedere?

Il senso antiorario ed orario coincidono. Pertanto, il numero di modi è ½ (10-1)! = 181 440

Combinazioni

Il numero di modi per selezionare r oggetti da n oggetti diversi è:

Esempio

Ci sono 10 palle in un sacchetto numerate da 1 a 10. Tre palle sono scelte a caso. Quanti modi diversi ci sono di selezionare le tre palle?

10C3 =10!=10 × 9 × 8= 120
             3! (10 – 3)!3 × 2 × 1

Permutazioni

Una permutazione è una disposizione ordinata.

nPr = n!       .
          (n – r)!

Esempio

In the Match of the Day’s goal of the month competition, you had to pick the top 3 goals out of 10. Since the order is important, it is the permutation formula which we use.

10P3 =10!
               7!

= 720

Ci sono quindi 720 modi diversi di prendere i primi tre goal.

Probabilità

I fatti di cui sopra possono essere utilizzati per risolvere i problemi delle probabilità.

Esempio

Nella Lotteria Nazionale, vengono scelti 6 numeri su 49. Si vince se le 6 palle scelte corrispondono alle sei palle selezionate dalla macchina. Qual' è la probabilità di vincere la Lotteria Nazionale?

Il numero di modi di scegliere 6 numeri su 49 è 49C6 = 13 983 816 .

Quindi la probabilità di vincere la lotteria è 1/13983816 = 0.000 000 071 5 (3sf), che è di circa 1 su 14 milioni.