Nel calcolo, la derivata rappresenta la parte principale del cambiamento in una funzione y = ƒ(x) rispetto ai cambiamenti della variabile indipendente. La derivata dy è definita da
dove è
la derivata di ƒ rispetto a x, e dx è una
variabile aggiuntiva vera e propria (quindi dy è una
funzione di x e dx). La notazione è equivalente
all’equazione
,dove la derivata è rappresentata dalla notazione di Leibniz dy/dx, ed è coerente con quello che riguarda le derivate come quoziente di differenzaiali. Si può anche scrivere:
Il significato preciso delle variabili dy e dx dipende dal contest dell’applicazione e richiede una conoscenza più approfondita della matematica. Il dominio di queste variabili può assumere un significato particolare in geometria se la derivata è considerata come una forma particolare di differziale, o un significato analitico se la derivata è considerata come approssimazione lineare di una funzione incrementale. In fisica, le variabili dx e dy sono spesso molto piccole ("infinitesimali").
Regola della costante
La derivate di una funzione costante è 0. Cioè, se c è un numero reale, allora d/dx[c]
= 0.
Regola della somma e della differenza
La
somma(o differenza) di due funzioni derivabili è una funzione
derivabile ed è la somma (o differenza) delle loro derivate.
d/dx[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)
d/dx[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)
Moltiplicazione
per una costante
Se
f è una funzione derivabile e c è un numero reale, allora cf è
anch’esso derivabile e d/dx[cf(x)]
= cf'(x)
Regola
delle potenze
Se n è
un numero razionale, allora la funzione f(x)
= xn è
derivabile e d/dx[xn]
= nxn-1
Regola
del prodotto
Il
prodotto di due funzioni derivabili f e g,
è derivabile. Inoltre
, la derivata di fg è
data da:
d/dx[f(x)g(x)] = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)
Regola
del quoziente
Il
quoziente f/g
di due funzioni derivabili, f e g,
è anch’esso derivabile per ogni valore di x per g(x) diverso
da 0. Inoltre,
la derivate di f/g è
data da:
d/dx[ f(x)/g(x) ] = (g(x)f'(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]2 g(x) diverso da 0
Regola
della catena
Se y = f(u) è
una funzione derivabile di u e u = g(x) è
una funzione derivabile di x,
allora y = f(g(x)) è
una funzione derivabile di x e
d/dx[f(g(x))]
= f'(g(x))g'(x)
Regola
generale delle potenze
Se y =
[u(x)]n,
dove u è una funzione derivabile di x e n è
un numero razionale, allora d/dx = [un]
= nun-1u'.