Заметим, что если тройка векторов a,b,c является правой, то тройки c,a,b и b,c,a также будут правыми, а тройки b,a,c, c,b,a и a,c,b будут левыми тройками векторов.
Так как объем параллелепипеда не зависит от того, в каком порядке перечисляются его стороны, то
Объем треугольной пирамиды, ребрами которой служат векторы a,b,c, равен .
Доказательство. Построим параллелепипед, три ребра которого совпадают с тремя ребрами пирамиды, выходящими из одной точки.
Объем параллелепипеда вычисляется по формуле , а объем пирамиды --
. Так как
, то
.
Получим, что , а
.
Получим формулу для нахождения смешанного произведения по координатам сомножителей.