La funzione totiente , chiamata anche funzione totiente di Eulero,
è definita, per ogni intero positivo
che sono coprimi con (cioè non contengono nessun fattore in comune)
, dove 1 è contato come coprimo verso tutti i numeri. Poichè un numero minore/uguale
e coprimo
a un numero dato è chiamato totative,
la funzione totiente
può essere definita semplicemente come il numero
di totatives di
. Per esempio, ci sono
otto totatives di 24 (1, 5, 7,
11, 13, 17, 19, e 23), quindi
. La funzione totiente
è implementata in Mathematica come EulerPhi[n].
è sempre pari
per
. Per convenzione,
, sebbene
Mathematica
definisce EulerPhi[0] uguale a 0 per coerenza con il suo comando FactorInteger[0].
I primi valori di
per
, 2, ... sono 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10,
... (Sloane's A000010). La
funzione totiente è ottenuta dalla trasformazione di Möbius
di 1, 2, 3, 4, ... (Sloane e Plouffe 1995, p. 22).
è riportato
sopre per le piccole
.
Per il primo ,
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(1)
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poichè tutti i numeri sono minori di sono coprimi a
. Se
è una potenza di un numero primo,
quindi i numeri che hanno un fattore comune con
sono multipli
di
:
,
, ...,
.
Ci sono
di questi multipli, così il numero di fattori coprimi
a
è
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(2)
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(3)
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(4)
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Ora prendiamo un generico divisible per
. Sia
il
numero di interi positivi
non divisibile
per
. Come prima,
,
, ...,
ha fattori
comuni, quindi
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(5)
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(6)
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Ora sia un altro dividendo primo
. Gli interi divisibili per
sono
,
, ...,
. Ma questi
duplicati
,
, ...,
. So the
numero di termini che devono essere sottratti
per ottenere
è
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(7)
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(8)
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e
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(9)
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(10)
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(11)
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Per induzione, il caso generale è
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(12)
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(13)
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dove il prodotto viene eseguito su tutti i primi dividing
. Un'identità interessante
relativa a
to
è data
da
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(14)
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(A. Olofsson, pers. comm., Dec. 30, 2004).
Un'altra identità riguarda i divisori da
a
via
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(15)
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La funzione totiente è collegata alla funzione di Möbius attraverso la somma
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(16)
|
dove la somma supera i divisori di , che può essere dimostrato
per induzione su
e il fatto che
e
sono moltiplicativi
(Berlekamp 1968, pp. 91-93; van Lint and Nienhuys 1991, p. 123).
La funzione totiente ha come funzione generatrice la serie di Dirichlet
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(17)
|
per (Hardy e Wright 1979, p. 250).
La funzione totiente soddisfa la disuguaglianza
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(18)
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per ogni tranne
e
(Kendall e
Osborn 1965; Mitrinović e Sándor 1995, p. 9). Pertanto, gli unici
valori di
per cui
sono
, 4, e 6. Inoltre, per composizione di
,
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(19)
|
(Sierpiński and Schinzel 1988; Mitrinović and Sándor 1995, p. 9).
soddisfa anche
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(20)
|
dove è la costante di Eulero-Mascheroni. I valori di
per cui
sono ottenuti da 3, 4,
5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, ... (Sloane's A100966).
La funzione divisore soddisfa la congruenza
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(21)
|
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(22)
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per tutti i primi e non composito con l' eccezione di
4, 6, e 22, dove
è la funzione divisore. Questo fatto è stato dimostrato da Subbarao (1974),
nonostante la implicazioni contrarie, "is it true for infinitely many composite
?," indicato in Guy (1994, p. 92),
una query successivamente rimossa da Guy (2004, p. 142). Nessuna soluzione composita è attualmente nota
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(23)
|
(Honsberger 1976, p. 35).
Un corollario del teorema di Zsigmondy conduce alla seguente congruenza,
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(24)
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(Zsigmondy 1882, Moree 2004, Ruiz 2004ab).
Le prime per cui
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(25)
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sono date da 1, 3, 15, 104, 164, 194, 255, 495, 584, 975, ... (Sloane's A001274), che hanno valori comuni , 2, 8,
48, 80, 96, 128, 240, 288, 480, ... (Sloane's A003275).
La sola per cui
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(26)
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è , ottenendo
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(27)
|
(Guy 2004, p. 139).
I valori di condivisi attraverso
that are close
together include
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(28)
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(29)
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(30)
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(31)
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(Guy 2004, p. 139). McCranie ha trovato una progressione aritmetica di sei numeri con funzioni totiente uguali,
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(32)
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così come altre progressioni di sei numeri a partire da 1166400, 1749600, ... (Sloane's A050518).
Se la congettura di Goldbach è vera, allora per ogni intero positivo , ci sono primi
e
tali che
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(33)
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(Guy 2004, p. 160). Erdős chiese se questo valeva per e
non necessariamente
primo, ma questa forma rilassata rimane senza dimostrazione (Guy 2004, p. 160).
Guy (2004, p. 150) ha discusso le soluzioni di
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(34)
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dove è la funzione divisiore. F. Helenius ha trovato 365 solutioni,
le prime delle quali sono 2, 8, 12, 128, 240, 720, 6912, 32768, 142560, 712800, ...
(Sloane's A001229).