L'aire (parfois appelée
) d'un triangle
ayant pour côtés
,
,
et pour angles correspondants
,
, et
se définit ainsi :
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(1)
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(2)
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(3)
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(4)
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(5)
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(6)
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(7)
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où R est le rayon du cercle circonscrit,
est le rayon du cercle inscrit, et
est le semi périmètre.
Une formule à retenir pour est la formule de Héron :
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(8)
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Si un triangle est définit par les vecteurs et
ayant pour origine l'un des sommets du triangle, alors l'aire est
égale à la moitié de l'aire du parallélogramme correspondant, c'est à
dire :
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(9)
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(10)
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où est le déterminant.
Rappel
: pour deux vecteurs u et v de composantes u(x, y) et v(x', y'), le
déterminant de (u,v) est le réel xy' - x'y (on fait le produit en
croix).
Soient ,
,
les côtés du triangle et
,
,
les rayons des cercles mutuellement tangeants centrés sur les côtés du triangle, (ce qui définit les cercles de Soddy),
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(11)
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(12)
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(13)
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alors l'aire se définit par la formule :
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(14)
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Il existe d'autres formules, notamment celle de Beyer (1987) et Baker (1884), qui proposent 110 formules pour définir l'aire d'un triangle.
Dans le schéma ci-dessus, soit le cercle circonscrit au triangle, de rayon R, et soit les angles ( et
) formés par les rayons du cercle passant par les sommets du triangle. Alors l'aire du triangle peut se calculer ainsi :
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(15)
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L'aire (signée) d'un triangle définit par pour
, 2, 3 est définie par :
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(16)
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(17)
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Si le triangle se trouve dans un espace à trois dimensions, et que les coordonnées de ses sommets sont données par , alors
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(18)
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Ce qui peut s'écrire sous la forme simple et concise :
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(19)
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(20)
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où est le produit en croix.
Si les sommets d'un triangle sont des coordonnées trilinéaires par exemple , alors l'aire du triangle est :
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(21)
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où
est l'aire d'un triangle de référence (Kimberling 1998). Pour des
coordonnées trilinéaires arbitraires, l'équation devient alors :
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(22)
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