Rappels

Le calcul différentielconcerne l’analyse mathématique du changement ou du mouvement. Il consiste à trouver les taux de variation instantanés (ou dérivées) de la valeur d'une fonction par rapport aux variations du (des) paramètre(s) de celle-ci.

La notion de fonction différentiable est la généralisation aux fonctions de plusieurs variables de la notion de fonction dérivable d'une variable réelle. 

La dérivée d'une fonction permet de trouver ses extrema en étudiant ses variations, car, pour rappel, le nombre dérivé en un point d'une fonction à variable et valeurs réelles est le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point.

La dérivée de la fonction    est notée en mathématiques    ou 

Ce qui s’écrit encore   Ou

Différentielle d’une fonction à une seule variable

Connaissant une certaine fonction f dépendant d'une seule variable, on définit une nouvelle fonction    :

Donc en prenant la limite de cette expression lorsque u tend vers 0, on obtient :

D'autre part, on a aussi :

Ainsi lorsque u tend vers 0, le terme de droite de cette équation tend lui-même vers 0 car    a une valeur proche de 0. À la limite, il reste donc :

Pour simplifier cette écriture, on introduit la notion de différentielle. Pour cela, il faut remarquer que    est une toute petite variation de   . On note alors    la différentielle de x . De même,    est une toute petite variation de   . On note alors :    la différentielle de f.

On obtient une relation entre ces différentielles :

Différentielle d’ordre 1

On appelle différentielle d'ordre 1 d'une fonction en un point a (ou dérivée de cette fonction au point a) la partie linéaire de l'accroissement de cette fonction entre a et a+h lorsque h tend vers 0.

Différentielle d’une fonction à plusieurs variables

Si la fonction f dépend de plusieurs variables x, y, et z, le même raisonnement peut être appliqué, et on obtient une équation faisant intervenir les dérivées partielles :

  .

Notations

Il existe différentes notations pour exprimer la valeur de la dérivée d'une fonction    en un point    :

Règles du calcul différentiel

Constante

La dérivée d’une fonction constante est nulle.

Pour c un nombre réel, on a donc   [c] = 0.

Somme et soustraction

La somme de deux fonctions différentiables est différentiable (de même pour la soustraction)

  [f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) et   [f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)

Produit par une constante

  [cf(x)] = cf'(x) où c est un nombre réel

Puissance

Si n est un nombre rationnel, alors la fonction f(x) = xn  est différentiable et

  [xn] = nxn-1 Combinaison linéaire

Si f et g sont différentiables en a, alors    est différentiable en a et

Composition

Si f est différentiable en a et g est différentiable en f(a), alors    est différentiable en a et

Inversion

On se reporte au théorème d’inversion locale :

Soient U un ouvert de Rn , a un point de U et f une fonction de U dans Rn de classe C1.

On suppose que la différentielle de f en a est une application linéaire inversible. Alors il existe un ouvert V contenant a et un ouvert W contenant f(a) tel que f soit un C1-difféomorphisme de V sur W. En outre, pour tout x de V, on a :