I determinanti sono oggetti matematici che sono molto utili per l'analisi e la soluzione di sistemi di equazioni lineari. Come mostrato dalla regola di Cramer, un sistema di equazioni lineari non omogeneo ha una unica soluzione se il determinante della matrice associata non è zero (cioè la matrice è non singolare). Per esempio, eliminando x, y, e z dalle equazioni

a_1x+a_2y+a_3z=0
(1)
b_1x+b_2y+b_3z=0
(2)
c_1x+c_2y+c_3z=0
(3)

si ottiene l'espressione

 a_1b_2c_3-a_1b_3c_2+a_2b_3c_1-a_2b_1c_3+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1=0,
(4)

che è chiamata determinante per questo sistema di equazioni. I determinanti sono definiti solo per le matrici quadrate.

Se il determinante di una matrice è 0, la matrice è chiamata singolare, e se il determinante è 1, la matrice è detta unimodulare.

Il determinante di una matrice A,

 |a_1 a_2 ... a_n; b_1 b_2 ... b_n; | | ... |; z_1 z_2 ... z_n|
(5)

è comunemente denotata con det(A), |A|, o in componenti come sum(+/-a_1b_2c_3...), D(a_1b_2c_3...), o |a_1b_2c_3...| (Muir 1960, p. 17). La notazione det(A) può essere conveniente quando si indica il valore assoluto del determinante, cioè, |det(A)| invece di ||A||. Il determinante è implementato in Mathematica come Det[m].

Il determinante di A 2×2 è definito come

 det[a b; c d]=|a b; c d|=ad-bc.
(6)

Il determinante di A k×k può essere calcolato utilizzando il metodo di "Laplace" e si ottiene

 |a_(11) a_(12) a_(13) ... a_(1k); a_(21) a_(22) a_(23) ... a_(2k); | | | ... |; a_(k1) a_(k2) a_(k3) ... a_(kk)|=a_(11)|a_(22) a_(23) ... a_(2k); | | ... |; a_(k2) a_(k3) ... a_(kk)| 
 -a_(12)|a_(21) a_(23) ... a_(2k); | | ... |; a_(k1) a_(k3) ... a_(kk)|+...+/-a_(1k)|a_(21) a_(22) ... a_(2(k-1)); | | ... |; a_(k1) a_(k2) ... a_(k(k-1))|.
(7)

In generale il determinante per una matrice A ha valore

 |A|=sum_(i=1)^ka_(ij)C_(ij),
(8)

senza sommatoria implicita per j e dove C_(ij) (denotato anche come a^(ij)) è il cofattore di a_(ij) definito da

 C_(ij)=(-1)^(i+j)M_(ij).
(9)

e M_(ij) è il minimo della matrice A ottenuta eliminando la riga i e colonna j da A. Questo processo è chiamato expansion by minors (o "svilippo di Laplace").

Il determinante può essere anche calcolato scrivendo tutte le permutazioni di {1,...,n}, prendendo ogni permutazione come indice delle lettere a, b, ..., e sommandola con i segni ottenuti da epsilon_p=(-1)^(i(p)), dove i(p) è il numero di inversioni in permutazione p (Muir 1960, p. 16), e epsilon_(n_1n_2...) è il simbolo di permutazione. Per esempio, con n=3, le permutazioni e il numero di inversioni in esse contenute sono 123 (0), 132 (1), 213 (1), 231 (2), 312 (2), e 321 (3), quindi il determinante è dato da

 |a_1 a_2 a_3; b_1 b_2 b_3; c_1 c_2 c_3| =a_1b_2c_3-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1.
(10)

Se a è una costante e A è una matrice quadrata n×n , allora

 |aA|=a^n|A|.
(11)

Dato un determinante n×n, esiste l'opposto ed è

 |-A|=(-1)^n|A|.
(12)

Il determinante gode della proprietà distributiva,

 |AB|=|A||B|.
(13)

Significa che il determinante di una matrice inversa può essere trovato nel modo seguente:

 |I|=|AA^(-1)|=|A||A^(-1)|=1,
(14)

dove I è la matrice identità, quindi

 |A|=1/(|A^(-1)|).
(15)

I determinanti sono multilineari nelle righe e colonne,

 |a_1 a_2 a_3; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|=|a_1 0 0; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|+|0 a_2 0; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|+|0 0 a_3; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|
(16)

e

 |a_1 a_2 a_3; a_4 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|=|a_1 a_2 a_3; 0 a_5 a_6; 0 a_8 a_9|+|0 a_2 a_3; a_4 a_5 a_6; 0 a_8 a_9|+|0 a_2 a_3; 0 a_5 a_6; a_7 a_8 a_9|.
(17)

Il determinante di una matrice simile è uguale al determinante della matrice originale

|BAB^(-1)|=|B||A||B^(-1)|
(18)
=|B||A|1/(|B|)
(19)
=|A|.
(20)

Il determinante di una matrice simile meno un multiplo della matrice identità è dato da

|B^(-1)AB-lambdaI|=|B^(-1)AB-B^(-1)lambdaIB|
(21)
=|B^(-1)(A-lambdaI)B|
(22)
=|B^(-1)||A-lambdaI||B|
(23)
=|A-lambdaI|.
(24)

Il determinante della matrice trasposta è uguale al determinante della matrice originale,

 |A|=|A^(T)|,
(25)

e il determinante di un complesso coniugato è uguale al complesso   coniugato del determinante

 |A^_|=|A|^_.
(26)

Sia epsilon un numero molto piccolo. Allora

 |I+epsilonA|=1+epsilonTr(A)+O(epsilon^2),
(27)

dove Tr(A) è la traccia di A. Il determinante può essere calcolato in modo semplice se abbiamo una matrice triangolare

 |a_(11) a_(21) ... a_(k1); 0 a_(22) ... a_(k2); | | ... |; 0 0 ... a_(kk)|=product_(n=1)^ka_(nn).
(28)

Alcune importanti proprietà dei determinanti sono le seguenti, che includono invarianza rispetto alle righe e operazioni con le colonne.

1. Scambiando due righe o colonne il determinante cambia di segno.

2. Gli scalari possono essere fattorizzati da righe e colonne.

3. I multipli di righe e colonne possono essere sommanti senza cambiare il valore del determinante.

4. La moltiplicazione di una riga per una costante c moltiplica il determinante per c.

5. Il determinante dove una riga o colonna di una matrice sono nulle ha valore 0.

6. Ogni determinante dove due righe o colonne sono uguali ha valore 0.

La proprietà 1 si dimostra per induzione. Per una matrice 2×2, il determinante è

|a_1 b_1; a_2 b_2|=a_1b_2-b_1a_2
(29)
=-(b_1a_2-a_1b_2)
(30)
=-|b_1 a_1; b_2 a_2|
(31)

Per una matrice 3×3 , il determinante è

 |a_1 b_1 c_1; a_2 b_2 c_2; a_3 b_3 c_3|=a_1|b_2 c_2; b_3 c_3|-b_1|a_2 c_2; a_3 c_3|+c_1|a_2 b_2; a_3 b_3| 
=-(a_1|c_2 b_2; c_3 b_3|+b_1|a_2 c_2; a_3 c_3|-c_1|a_2 b_2; a_3 b_3|)=-|a_1 c_1 b_1; a_2 c_2 b_2; a_3 c_3 b_3| 
=-(-a_1|b_2 c_2; b_3 c_3|+b_1|a_2 c_2; a_3 c_3|+c_1|b_2 a_2; b_3 a_3|)=-|b_1 a_1 c_1; b_2 a_2 c_2; b_3 a_3 c_3| 
=-(a_1|c_2 b_2; c_3 b_3|-b_1|c_2 a_2; c_3 a_3|+c_1|b_2 a_2; b_3 a_3|)=-|c_1 b_1 a_1; c_2 b_2 a_2; c_3 b_3 a_3|.
(32)

La proprietà 2 si dimostra in modo analogo. Per matrici 2×2 e 3×3,

|ka_1 b_1; ka_2 b_2|=k(a_1b_2)-k(b_1a_2)
(33)
=k|a_1 b_1; a_2 b_2|
(34)

e

|ka_1 b_1 c_1; ka_2 b_2 c_2; ka_3 b_3 c_3|=ka_1|b_2 c_2; b_3 c_3|-b_1|ka_2 c_2; ka_3 c_3|+c_1|ka_2 b_2; ka_3 b_3|
(35)
=k|a_1 b_1 c_1; a_2 b_2 c_2; a_3 b_3 c_3|.
(36)

La proprietà 3 segue dall'identità

 |a_1+kb_1 b_1 c_1; a_2+kb_2 b_2 c_2; a_3+kb_3 b_3 c_3|=(a_1+kb_1)|b_2 c_2; b_3 c_3|-b_1|a_2+kb_2 c_2; a_3+kb_3 c_3|+c_1|a_2+kb_2 b_2; a_3+kb_3 b_3|.
(37)

Se a_(ij) è una matrice n×n con a_(ij) numeri reali, allora det[a_(ij)] ha l'interpretazione come orientato n-dimensionale contenuto dal parallelepipedo attraversati da i vettori colonna [a_(i,1)], ..., [a_(i,n)] in R^n. "orientamento" significa che, a meno di un cambiamento di segno + o -, il numero è il n-dimensionale contenuto, ma il segno dipende dall'"orientamento" dei vettori colonna coinvolti. Se sono d'accordo con l'orientamento standard, c'è un segno +; altrimenti, un segno -. Il parallelepipedo attraverato dai vettori n-dimensionali v_1 e v_i è una collezione di punti

 t_1v_1+...+t_iv_i,
(38)

dove t_j è un numero reale in un intervallo chiuso [0,1].

Several accounts state that Lewis Carroll (Charles Dodgson) sent Queen Victoria a copy of one of his mathematical works, in one account, An Elementary Treatise on Determinants. Heath (1974) states, "A well-known story tells how Queen Victoria, charmed by Alice in Wonderland, expressed a desire to receive the author's next work, and was presented, in due course, with a loyally inscribed copy of An Elementary Treatise on Determinants," while Gattegno (1974) asserts "Queen Victoria, having enjoyed Alice so much, made known her wish to receive the author's other books, and was sent one of Dodgson's mathematical works." However, in Symbolic Logic (1896), Carroll stated, "I take this opportunity of giving what publicity I can to my contradiction of a silly story, which has been going the round of the papers, about my having presented certain books to Her Majesty the Queen. It is so constantly repeated, and is such absolute fiction, that I think it worth while to state, once for all, that it is utterly false in every particular: nothing even resembling it has occurred" (Mikkelson and Mikkelson).

DetComplexMatrix

Hadamard (1893) ha dimostrato che il valore assoluto del determinante di una matrice complessa n×n con entry nel disco unità che soddisfa

 |detA|<=n^(n/2)
(39)

(Brenner 1972). I grafici qui sopra mostrano la distribuzione dei determinanti per matrici complesse casuali n×n con entry che soddisfano |a_(ij)|<1 per n=2, 3, e 4.