Le théorème des fonctions implicites indique que pour une équation cartésienne c'est-à-dire de la forme f(x, y) = 0 où x et y décrivent les nombres réels, si la fonction f est suffisamment régulière au voisinage d'un point de la courbe, il existe une fonction φ de dans
et au moins aussi régulière que
telle que localement, la courbe et le graphe de la fonction φ sont confondus.
Enoncé formel du théorème des fonctions implicites
Soit f(x, y) une fonction de classe Cp définie sur un intervalle ouvert U de R2 et à valeurs dans R. [plus généralement soit la fonction f(x1, x2, ... , xn) ]. Soit (x0, y0) un point de U tel que f(x0, y0) = 0 et tel que la dérivée partielle de f, par rapport à la deuxième variable, ne soit pas nulle en(x0, y0). Il existe un intervalle ouvert V contenu dans U et contenant (x0, y0) et une fonction φ de classe Cp et de R dans R, tels que l'équivalence suivante soit vraie :
La dérivée de φ au point x0 est donnée par la formule :
Exemple 1
Soit f(x,y) = ax+by+c = 0 l’équation d’une droite.
1er cas : si b ≠ 0 on peut en tirer l’équation explicite :
ce qui revient à supposer que ≠ 0 ou encore que la droite n’est pas verticale.
2ème cas : si a ≠ 0 on en tire que
ce qui revient à supposer que ≠ 0 ou encore que la droite n’est pas horizontale.
Exemple 2
Regardons ce que ce théorème signifie sur le cercle x2 + y2 - 1 = 0, avec
Exemple 3
Si l’on veut utiliser le théorème des fonctions implicites pour calculer la dérivée de y par rapport à x au point (2, 3), y étant défini par la relation x ² + y ² – 13 = 0.
Voici la démarche :
On vérifie que le théorème des fonctions implicites est applicable :
Les trois conditions d'application du théorème des fonctions implicites sont donc vérifiées pour f.
Calcul de la dérivée de y par rapport à x
Dans ces conditions, il existe :
vérifiant :
De plus,
J x ( φ ) = = –
On obtient donc :
(2, 3) = –
= –
= –
En conclusion :
(2, 3) = –
Dérivée partielle de fonctions implicites
Pour deux ou plusieurs variables sont liées par une équation du type F(x, y, z, ...) = 0, si les conditions du théorème des fonctions implicites sont remplies, on peut prendre une des variables et l’étudier en tant que fonction des autres variables. Si l’on choisit z, les dérivées partielles de z par rapport aux autres variables sont :
Exemple
Soit (x 0, y 0, z 0) un point de R ³ vérifiant f (x 0, y 0, z 0) = 0.
Les trois conditions d'application du théorème des fonctions implicites sont alors vérifiées pour f, dans l'ouvert U.