Soit un couple de points (A,B) du plan ou de l'espace définit un vecteur
géométrique ;
si A et B (respectivement A' et B') sont des points non confondus,
les vecteurs
et
sont
colinéairessi et seulement si les droites (AB) et (A'B') sont parallèles cad
s’il existe un réel k tel que
=k.
Colinéaritéet coordonnées : Soit
et
deux
vecteurs, dont les coordonnées dans une base fixée (ou dans un
repère fixé) sont
=(u1,
…., un)et
=(v1,
…., vn)
Alors et
sontcolinéaires si et seulement si
uivj=ujvi pour
tous indices i et j.
En dimension 2, ceci nous donne le théorème
suivant : pour
= (x, y) et
= (x’, y’) deux vecteurs non nuls, u et v sont colinéaires ⇔
x.y’– x’.y = 0
Lacolinéaritéest une notion importante en géométrie affine car elle permet de caractériser
Inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire
Dans un espace vectoriel muni du produit scalaire, on a les deux inégalités suivantes :
1)Inégalité de Cauchy-Schwarz : |u• v| ≤ ||u|| ||v||
2) Inégalité triangulaire : ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||
Dans R2et R3, l’inégalité triangulaire devient une égalité si les deux vecteurs sont colinéaires (comme les vecteurs a et b du schéma précédent)