Funções Implícitas, Derivadas de Funções Implícitas

(uma função implícita é uma função que é definida implicitamente por uma relação entre o seu argumento e o seu valor.)

Introdução às funções Implícitas

Seja y relacionado com x pela equação

(1)       f(x, y) = 0

   

E suponha o locus tal como é mostrado na Figura 1.

Não podemos dizer que y é uma função de x já que para um determinado valor de x há mais do que um valor de y (porque, na figura, uma linha perpendicular ao eixo do x intersecta o locus em mais de um ponto) e uma função é, por definição, de valor único. Embora a equação (1) acima não defina y como uma função de x, podemos afirmar que, em certos segmentos criteriosamente escolhidos do locus y pode ser considerado como uma função de um único valor de x [exprimível como y = f (x)]. Por exemplo, o segmento P1P2 pode ser isolado, como definindo a função y = f (x). Como consequência é costume dizer que a equação (1) define y implicitamente como uma função de x; e referimo-nos a y como uma função implícita de x.

Definição

Uma função definida por uma equação da forma f (x, y) = 0 [em geral, f (x1, x2,... , xn) = 0 ]. Se y for considerado como variável dependente, então f (x, y) = 0 define y como uma função implícita de x.

Teorema da Função Implícita

O Teorema da função implícita fornece uma condição sob a qual uma relação define uma função implícita. Afirma que, se o lado esquerdo da equação R(x, y) = 0 é diferenciável e satisfaz alguma condição suave nas suas derivadas parciais nalgum momento (a, b) de tal modo que R(a, b) = 0, então, ele define a função y = f(x) um intervalo contendo a. Geometricamente, o gráfico definido por R (x,y) = 0 vai-se sobrepor localmente com o gráfico de uma equação y = f(x).

Derivadas e funções implícitas. 

Considere o locus de f(x, y) = 0 mostrado na Fig. 1.Vamos fazer a seguinte pergunta: “Num determinado ponto do locus qual é o valor da quantidade dy/dx?” Esta pergunta pode ser respondida em todos os pontos do locus, excepto os pontos P1,P2,P3 e P4 (nestes pontos, a quantidade dy/dx não existe – torna-se infinito) e a resposta é:

             

Se tivermos uma equação do tipo f(x, y) = 0, e sejam satisfeitas determinadas condições, pode-se ver uma das variáveis como uma função da outra na vizinhança de um ponto específico (x0, y0) que satisfaz a equação. As condições que devem ser cumpridas são apesentadas no teorema da função implícita.

Diferenciação de funções implícitas.

Se tivermos uma equação tal como f(x, y, ... , u) = 0 a qual define uma variável como uma função das outras  implicitamente, existem duas técnicas para calcular derivadas.

1. Diferenciação directa. Dada uma determinada variável a ser considerada como variável dependente, se for possível resolver a equação para a variável dependente em termos de variáveis independentes, podemos calcular a derivada directamente pela fórmula.

 Exemplo. Calcule dy/dx para a equação y - 3x2 + 5x + 1 = 0. 

Solução. Resolver a equação para y para obter

            y = 3x2 -5x -1

e calcule a derivada directamente como dy/dx = 6x - 5.

2. Diferenciação implícita. Decida qual é a variável que deve de ser considerada a variável dependente e qual a independente. Digamos que seja y considerada a variável dependente em f(x, y) = 0. Tendo y como a variável dependente, diferencie a equação na sua presente forma em ordem à variável independente x e, em seguida, resolva a relação resultante para dy/dx . Este método é conhecido como a diferenciação implícita.

Exemplo. Calcule dy/dx para a equação x5 + x2y3 - y6 + 7 = 0.

Solução. Diferenciando implicitamente, obtemos

             

             

Resolvendo para dy/dx dá

                

Porque na maioria dos casos, é difícil ou impossível de resolver em ordem à variável dependente, normalmente usamos o método de diferenciação implícita.

Teorema Na equação f(x, y) = 0 que define implicitamente y como uma função de x, a derivada de dy/dx é dada em termos das derivadas parciais f(x, y) by

             

Prova. O diferencial total da função z = f(x, y) é dado pela

             

Se considerarmos a restrição que z = f(x, y) = 0 (ou seja, os valores de x e y são restritos ao conjunto da solução de f(x, y) = 0), então z é constante, dz é zero, e o diferencial total torna-se

             

Então, resolvendo para dy/dx, obtemos

             

Derivadas parciais de funções implícitas. Sejam duas ou mais variáveis relacionadas através de uma equação do tipo

             F(x, y, z, ...) = 0 .

Desde que as condições para o teorema da função implícita sejam satisfeitas, podemos tomar uma das variáveis e vê-la como uma função do restante das variáveis. Se escolhermos z como a variável dependente, as derivadas parciais de z em ordem ás outras variáveis são dadas por

             

Prova. A prova é essencialmente a mesma que a prova acima para o caso f(x, y) = 0 já que todas as variáveis, excepto as duas em questão são tratadas como constantes quando se toma as parciais.