Erwartungswert und Dispersion
Wir messen eine zufällige Größe N-Mal, z.B wir messen zehnmal die Windgeschwindigkeit und wollen den Durchschnitt finden. Wie ist der Durchschnitt mit der Funktion der Verteilung verbunden?
Wir werden Spielwürfel mehrmals werfen. Die Punktzahl, die Würfel bei jedem Wurf zeigen, ist eine zufällige Größe und kann beliebige natürliche Werte von 1 bis 6 haben. Der Durchschnitt der Punktzahlen während aller Würfe ist auch eine zufällige Zahl, aber bei den größeren N strebt nach einer bestimmten Zahl – Erwartungswert Mx. In diesem Fall Mx = 3,5.
Wie haben wir diesen Wert bekommen? Sei in N-Versuchen
mal 1 Punkt ausfiel,
mal – 2 Punkte usw. Dann
Bei N → ∞ Anzahl von Abläufen, in denen 1 Punkt ausfiel
Analogisch
Daraus:
Vermuten wir jetzt, dass wir Gesetz der Zufallsgrößenverteilung x wissen, d.h wir wissen, dass eine zufällige Größe x kann die Werte x1, x2, ..., xk с haben mit dem Wahrscheinlichkeiten p1, p2, ..., pk.
Erwartungswert Mx einer zufälligen Größe x ist 
gleich
Die Erwartungswert einer zufälligen Zahl bezeichnet man oft als <x>. <x> und Mx sind äquivalent.
Die Despersion einer zufälligen Zahl x nennt man den Durchschnitt des Streuungsquadrat einer zufälligen Zahl von ihrer Erwartungswert:
Man kann diese Formel folgenderweise umschreiben, wenn man die Wahrscheinlihkeiten pi benutzt, dass die Größe x die Werte xi einnimmt: