Le produit scalaire nous permet de trouver une formule pratique pour calculer l'angle entre deux vecteurs. Cette formule utilise la loi du cosinus qui est une règle géométrique vérifiée dansR2etR3uniquement, mais qui peut servir à développer d'autres formules valides dans Rn
Soit vecteurs
et
deuxvecteurs dans R2, R3 .
Alors
l'angle entre eux se calcule à l'aide de la formule:
cos
(Remarque :d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a
On l’utilise aussi comme définition dans Rn,
même si la loi du cosinus ne s’applique pas pour n
Exemple :
=[1,1] ,
=[-3, 2].Trouvez l’angle entre les deux vecteurs.
cos=
=
=
donc
On utilise la
fonction inverse du cosinus pour déterminer
.
On ne tombe pas sur un nombre entier de degrés (ou radians), donc on
laisse la formule sous cette forme à moins qu’il nous soit demandé
de fournir une valeur approchée.
Autre exemple :
Trouver
l’angle entre les vecteurs
=
et
=
cos=
=
=
=
=
Afin de trouver la valeur exacte de l’angle dans l’exemple précédent,
on peut utiliser la table fournissant des valeurs exactes du
cosinus : on a donc pour cos
l’angle
45°