Le produit de deux matrices ne peut se définir que si le nombre de colonnes de la 1ère matrice est identique au nombre de lignes de la 2ème matrice, c'est à dire lorsque les deux matrices sont de type compatible.
Le produit C de deux matrices et
se définit ainsi :
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(1)
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où on fera la somme d'indice
pour toutes les valeurs possibles de i et k ; la notation précédente
utilise la convention de sommation d'Einstein (selon cette convention,
quand l'indice d'une variable apparaît deux fois dans un terme, on
sous-entends la sommation sur toutes les valeurs que peut prendre cet
indice). Cette sommation
est communément utilisée pour les matrices et le calcul tensoriel.
Autre formulation de ce produit matriciel :
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(2)
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où
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(3)
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La multiplication de matrices est associative comme on le voit ici :
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(12)
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où l'on utilise de nouveau la sommation d'Einstein.
Puisque ,
, et
sont des nombres scalaires, on utilise l'associativité de la multiplication scalaire pour écrire :
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(13)
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Comme ceci est vrai pour tout et
, on a
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Donc la multiplication de matrices est associative. L'équation (13) peut donc s'écrire sans ambiguïté :
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Et grâce à l'associativité, les matrices forment un semi-groupe muni de la multiplication matricielle.
La multiplication de matrices est aussi distributive. Si![]() | ![]() | ![]() |
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Puisque les matrices avec la loi d'addition forment un groupe abélien, les matrices
forment un anneau.
Cependant, la multiplication de matrices n'est, en général, pas commutative (bien qu'elle le soit si A et B sont diagonales et de la même dimension).
Le produit de deux matrices par bloc (sous-matrice) se fait en multipliant chaque bloc :
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(18)
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