La parte finale della sezione operazioni con i vettori riguarda l'utilizzo di concetti riguardanti il prodotto scalare e l'ortogonalità per calcolare le proiezioni di un vettore. Dati due vettori u e v, il vettore proiezione (o proiezione) di v in u è indicato con projuv
Il termine proiezione deriva dall'idea di una luce brillante verso il vettore u e vedendo l'ombra proiettata di v in u. Questa 'ombra' ha la stessa direzione di u, e può avere lunghezza diversa. Inoltre, projuv è la moltiplicazione scalare di u. La proiezione è trovata dalla formula,
Poiché il numeratore del nostro scalare è il prodotto scalare u • v, possiamo vedere che questa proiezione è il vettore nullo se u e v sono ortogonali. Questo concorda con la nostra analogia, un vettore perpendicolare v non avrebbe fatto ombra su u. Allo stesso modo, se u = v, allora naturalmente projuv = u, dato che ||u||2 = u • u, quindi il nostro scalare sarebbe uguale a 1. Questo si inserisce in analogia con la nostra ombra, che è illustrata qui di seguito,
La componente di v in u (o proiezione scalare) è uguale alla lunghezza della proiezione del vettore v in u. È denotata da compuv, ed è data dalla formula,
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi che coinvolgono proiezioni e componenti