En mathématique, le nombre de Fibonacci  est l’entier naturel qui appartient à une suite dont les deux premiers termes sont 1 et dont chacun des termes successifs est égal à la somme des deux précédents.

Si l'on note Fn la suite de Fibonacci, elle est définie par :

Fn = Fn-1 + Fn-2  

avec  

F0 = 0, F1 = 1

et les termes de cette suite sont les nombres de Fibonacci :
\mathcal F_0\mathcal F_1\mathcal F_2\mathcal F_3\mathcal F_4\mathcal F_5\mathcal F_6\mathcal F_7\mathcal F_8\mathcal F_9\mathcal F_{10}\mathcal F_{11}\mathcal F_{12}\mathcal F_{13}\mathcal F_{14}\mathcal F_{15}\mathcal F_{16}\mathcal F_{17}\mathcal F_{18}\mathcal F_{19}\mathcal F_{20}\mathcal F_{21}\mathcal F_{22}\mathcal F_{23}\mathcal F_{24}\mathcal F_{25}\mathcal F_n
0112358132134558914423337761098715972584418167651094617711286574636875025...\mathcal F_{n-1}+\mathcal F_{n-2}

Quelques propriétés des nombres de Fibonacci :

1. Somme

F0 + F1 + F2 + F3 + ... + Fn = Fn+2 - 1

1F1 + 2F2 + 3F3 + ... + nFn = nFn+2 - Fn+3 + 2

2. Théorème de Lucas 

Fm pgcd Fn = F(m pgcd n

3. Formule de Cassini :
Fn+1 · Fn-1 - (Fn)2 = (-1)n
Variante de cette formule : 
Fn-2 · Fn+1 - Fn-1 · Fn = (-1)n-1
4. Formule de Simson :
Fn+1 · Fn-1 + (-1)n-1 = (Fn)2
5. Propriété de décalage : 
Fm+n = Fm · Fn+1 + Fm-1 · Fn

6. La période des unités des nombres successifs correspond à un nombre de 60 chiffres.

7. Chaque nombre de rang 4n est un multiple de 3.

8. Le carré d'un nombre de Fibonacci diffère d'une unité du produit des deux nombres qui l'entourent.

9. La différence des carrés de deux nombres de rangs n et (n + 1) est égale au produit des deux nombres de rangs (n - 1) et (n + 2).

10. La somme des carrés de deux nombres de rangs n et (n + 1) est égale à un nombre de Fibonacci de rang (2n + 1).

11. Tout nombre de rang mn est divisible par le nombre de rangm. Par exemple, le nombre de rang 7n est divisible par 13.

12. À l'exception de 3, tout nombre de Fibonacci dont le rang est un nombre premier est lui-même premier.

13. La somme de 10 termes consécutifs est égale à 11 fois le septième terme.