Производной функции в точке
называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, где приращение аргумента
стремится к нулю. Если предел существует, то функцию
называют дифференциируемой в точке
.
Дифференциал представляет собой приращение функции . Дифференциал
определяется как:
где это производная
по
, и
дополнительная вещественная переменная (получается, что
функция переменных
и
). Такая запись подразумевает
где производная записана в нотации Лейбница . Также существует запись
Точное значение переменных dy и dx зависит от контекста и решаемой задачи. Так, например, при решении физических задач, переменные и
часто рассматриваются как пренебрежимо малые значения.
Лагранжа :
Лейбница :
Сумма и разность двух дифференциируемых функций дифференциируема и равна сумме или разности их производных.
Произведение двух дифференциируемых функций, и
, также дифференциируемо. Производная
равна
Частное , двух дифференциируемых функций,
и
, дифференциируемо для
, где
. Производная частного
равна
Если дифференциируемая функция
и
дифференциируемая функция
, то
дифференциируемая функция
и