I determinanti sono oggetti matematici che sono molto utili per l'analisi e la soluzione di sistemi di equazioni lineari.
Come mostrato dalla regola di Cramer, un sistema di equazioni lineari
non omogeneo ha una unica soluzione se
il determinante della matrice associata non è
zero (cioè la matrice è non singolare). Per esempio, eliminando ,
, e
dalle equazioni
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(1)
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(2)
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si ottiene l'espressione
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che è chiamata determinante per questo sistema di equazioni. I determinanti sono definiti solo per le matrici quadrate.
Se il determinante di una matrice è 0, la matrice è chiamata singolare, e se il determinante è 1, la matrice è detta unimodulare.
Il determinante di una matrice ,
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(5)
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è comunemente denotata con ,
, o in componenti
come
,
,
o
(Muir 1960, p. 17). La
notazione
può essere conveniente quando si indica
il valore assoluto del determinante, cioè,
invece
di
. Il determinante è implementato in Mathematica come Det[m].
Il determinante di A è definito come
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Il determinante di A può essere calcolato utilizzando il metodo di "Laplace" e si ottiene
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In generale il determinante per una matrice ha valore
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senza sommatoria implicita per e dove
(denotato anche come
) è il cofattore di
definito da
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e è il minimo
della matrice
ottenuta eliminando la
riga
e colonna
da
. Questo processo
è chiamato
expansion by minors (o "svilippo di Laplace").
Il determinante può essere anche calcolato scrivendo tutte le permutazioni di , prendendo
ogni permutazione come indice delle lettere
,
, ..., e sommandola
con i segni ottenuti da
, dove
è il numero
di inversioni
in permutazione
(Muir 1960, p. 16), e
è il simbolo di permutazione.
Per esempio, con
, le permutazioni e il numero
di inversioni in esse contenute sono 123 (0), 132 (1), 213 (1), 231 (2), 312 (2), e 321
(3), quindi il determinante è dato da
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Se è una costante e
è una matrice quadrata
, allora
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Dato un determinante , esiste l'opposto ed
è
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Il determinante gode della proprietà distributiva,
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Significa che il determinante di una matrice inversa può essere trovato nel modo seguente:
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dove è la matrice identità, quindi
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I determinanti sono multilineari nelle righe e colonne,
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(16)
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e
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(17)
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Il determinante di una matrice simile è uguale al determinante della matrice originale
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(18)
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Il determinante di una matrice simile meno un multiplo della matrice identità è dato da
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Il determinante della matrice trasposta è uguale al determinante della matrice originale,
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e il determinante di un complesso coniugato è uguale al complesso coniugato del determinante
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Sia un numero molto piccolo. Allora
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dove è la traccia di
. Il determinante
può essere calcolato in modo semplice se abbiamo una matrice
triangolare
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Alcune importanti proprietà dei determinanti sono le seguenti, che includono invarianza rispetto alle righe e operazioni con le colonne.
1. Scambiando due righe o colonne il determinante cambia di segno.
2. Gli scalari possono essere fattorizzati da righe e colonne.
3. I multipli di righe e colonne possono essere sommanti senza cambiare il valore del determinante.
4. La moltiplicazione di una riga per una costante moltiplica il determinante per
.
5. Il determinante dove una riga o colonna di una matrice sono nulle ha valore 0.
6. Ogni determinante dove due righe o colonne sono uguali ha valore 0.
La proprietà 1 si dimostra per induzione. Per una matrice , il determinante è
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(30)
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(31)
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Per una matrice ,
il determinante è
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La proprietà 2 si dimostra in modo analogo. Per matrici e
,
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e
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La proprietà 3 segue dall'identità
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Se è una matrice
con
numeri reali, allora
ha l'interpretazione
come orientato
-dimensionale contenuto dal parallelepipedo attraversati da i vettori colonna
, ...,
in
. "orientamento"
significa che, a meno di un cambiamento di segno
o
, il numero è il
-dimensionale contenuto, ma il segno dipende dall'"orientamento" dei vettori colonna coinvolti. Se sono d'accordo con l'orientamento standard, c'è un segno
; altrimenti, un segno
. Il parallelepipedo
attraverato dai vettori
-dimensionali
e
è una collezione di punti
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dove è un numero
reale in un intervallo chiuso
.
Several accounts state that Lewis Carroll (Charles Dodgson) sent Queen Victoria a copy of one of his mathematical works, in one account, An Elementary Treatise on Determinants. Heath (1974) states, "A well-known story tells how Queen Victoria, charmed by Alice in Wonderland, expressed a desire to receive the author's next work, and was presented, in due course, with a loyally inscribed copy of An Elementary Treatise on Determinants," while Gattegno (1974) asserts "Queen Victoria, having enjoyed Alice so much, made known her wish to receive the author's other books, and was sent one of Dodgson's mathematical works." However, in Symbolic Logic (1896), Carroll stated, "I take this opportunity of giving what publicity I can to my contradiction of a silly story, which has been going the round of the papers, about my having presented certain books to Her Majesty the Queen. It is so constantly repeated, and is such absolute fiction, that I think it worth while to state, once for all, that it is utterly false in every particular: nothing even resembling it has occurred" (Mikkelson and Mikkelson).
Hadamard (1893) ha dimostrato che il valore assoluto del determinante di una matrice complessa
con entry nel disco unità che soddisfa
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(Brenner 1972). I grafici qui sopra mostrano la distribuzione dei determinanti per matrici complesse casuali con entry che soddisfano
per
, 3, e 4.