Интегрирование

Определение

Первообразной функции f называется такая функция F, производная которой равна f, то есть F'=f

Процесс нахождения первообразной называется интегрированием (или нахождением неопределенного интеграла), в противоположность дифференциированию.

Первообразны связаны с определенными интегралами через следующую теорему: определенный интеграл функции на некотором интервале равен разности первообразных на концах интервала.

Пример

Функция F(x) = \dfrac{x^3}{3} является первообразной f(x) = x^2. Поскольку производная константы равна нулю, x2 будет иметь бесконечное количество первообразных, таких как (\dfrac{x^3}{3}) + 0, (\dfrac{x^3}{3}) + 7, (\dfrac{x^3}{3}) − 42, (\dfrac{x^3}{3}) + 293 и т д.

Таким образом все множество первообразных x^2 может быть получено подстановкой константы C в F(x) = \dfrac{x^3}{3} + C; C называют константой интегрирования.

То есть графики первообразных заданной функции есть множество вертикальных перемещений, зависящих от значения параметра C

Запись

В простейшем случае, интеграл по x вещественной функции f(x), записывается как \int f(x)\ dx. Знак интеграла тут обозначает операцию интеграции, а dx обозначает интегрирование по переменной x, которая называется переменной интегрирования.