Multiplication par un scalaire

La multiplication d'une matrice A = (aij) par un nombre scalaire r, a pour résultat la matrice  r A de même dimension que A. Les éléments de la matrice r A sont donnés par :

 (r\mathbf{A})_{ij} = r \cdot a_{ij}. \,

Par exemple, si

\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

alors

 r \cdot \mathbf{A}=\begin{bmatrix} r \cdot a & r \cdot b \\ r \cdot c & r \cdot d \end{bmatrix}.

Mais si nous travaillons sur un anneau, alors la multiplication précédente est la multiplication à gauche de la matrice A par le scalaire r; et la multiplication à droite se définira ainsi : 

 (\mathbf{A}r)_{ij} = a_{ij} \cdot r. \,

Quand l'anneau est commutatif, par exemple le corps des réels ou des complexes, les deux multiplications sont identiques.

Cependant, si l'anneau n'est pas commutatif (tel que celui des quaternions),  alors les deux multiplications peuvent être différentes.

Par exemple :

  i\begin{bmatrix} 
    i & 0 \\ 
    0 & j \\ 
  \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
    -1 & 0 \\
     0 & k \\
  \end{bmatrix}
\ne \begin{bmatrix}
    -1 & 0 \\
    0 & -k \\
  \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
    i & 0 \\
    0 & j \\
  \end{bmatrix}i.