In generale, un tetraedro è un poliedro con quattro lati.
Se tutte le facce sono congruenti, il tetraedro è detto tetraedro isoscele. Se tutte le facce sono congruenti a un triangolo equilatero, allora il tetraedro è conosciuto come tetraedro regolare.
Un tetraedro generale (non necessariamente regolare), è definito poliedro convesso e costituito da quattro facce triangolari (non necessariamente identiche) , può essere specificato da i
vertici di un poliedro come
, dove
, ..., 4. Allora
il volume del tetraedro è dato
da
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(1)
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Specificando il tetraedro con i tre vettori lato ,
, e
da un vertice poliedro dato, il volume è
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(2)
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Se il lato tra i vertici e
è di lunghezza
, allora il volume
è dato dal determinante di
Cayley-Menger
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(3)
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Si consideri un tetraedro arbitrario con
triangoli
,
,
, e
.
Siano le aree di questi triangoli
,
,
, s
, rispettivamente,
e denotano l'angolo diedro
rispetto a
e
per
da
. Allora le aree delle quattro facce sono connesse
da
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(4)
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coinvolge sei angoli diedri (Dostor 1905, pp. 252-293; Lee 1997). È una generalizzazione della legge dei coseni di un tetraedro. Inoltre, per ogni ,
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(5)
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dove è la lunghezza del lato comune
di
e
(Lee 1997).
Dato un tetraedro ad angolo retto tetraedro con una cuspide dove tutti i lati sono ortogonali e dove la faccia è di fronte a questa cuspide è denotato , allora
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(6)
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Questa è una generalizzazione del teorema di Pitagora che si applica anche ai più alti simplessi dimensionali (F. M. Jackson, pers. comm., Feb. 20, 2006).
Sia l'insieme dei lati di un tetraedro e
l'insieme potenza
di
. Scriviamo
per il complemento
in
di un elemento
. Sia
l'insieme di triple
tali che
coprono una faccia del tetraedro,
e sia
l'insieme di
,
affinché
e
. In
, ci sono pertanto
tre elementi che sono le coppie di lati opposti. Ora definiamo
, che associa
ad un lato
di lunghezza
la quantità
,
, che associa a un elemento
il prodotto di
per ogni
, e
, che associa a
la somma di
per ogni
. Allora il volume
di un tetraedro è dato da
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(7)
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(P. Kaeser, pers. comm.).
Ci sono un certo numero di teoremi interessanti sulle proprietà di un tetraedro (cioè non necessariamente regolare) generale (Altshiller-Court 1979). Se un piano divide due lati opposti di un tetraedro in un dato rapporto, allora divide il volume del tetraedro nello stesso rapporto (Altshiller-Court 1979, p. 89). Ne consegue che qualsiasi piano passante per una mediana del tetraedro biseca il volume del tetraedro (Altshiller-Court 1979, p. 90).
Siano i vertici di un tetraedro denotati ,
,
, e
, e denota la lunghezza
dei lati
,
,
,
,
, e
. Allora se
denota l'area
del triangolo con i lati di lunghezza
,
, e
, il volume e il circumraggio
del tetraedro sono legati dalla formula
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(8)
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(Crelle 1821, p. 117; von Staudt 1860; Rouché e Comberousse 1922, pp. 568-576 e 643-664; Altshiller-Court 1979, p. 249).
Sia l'area del triangolo sferico formato dalla
esima faccia di un tetraedro in una sfera di
raggio
, e sia
sia l'angolo sotteso dal lato
. Allora
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(9)
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come dimostrato da J.-P. Gua de Malves nel 1740 o 1783 (Hopf 1940). La formula qui sopra fornisce i mezzi per calcolare l'angolo
solido sotteso dal vertice di un tetraedro regolare sostituendo
(l'angolo diedro). Di conseguenza,
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(10)
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o circa 0.55129 steradianti.