Le calcul différentielconcerne l’analyse mathématique du changement ou du mouvement. Il consiste à trouver les taux de variation instantanés (ou dérivées) de la valeur d'une fonction par rapport aux variations du (des) paramètre(s) de celle-ci.
La notion de fonction différentiable est la généralisation aux fonctions de plusieurs variables de la notion de fonction dérivable d'une variable réelle.
La dérivée d'une fonction permet de trouver ses extrema en étudiant ses variations, car, pour rappel, le nombre dérivé en un point d'une fonction à variable et valeurs réelles est le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point.
La
dérivée de la fonction est
notée en mathématiques
ou
.
Ce qui s’écrit
encore
Ou
Connaissant une
certaine fonction f dépendant
d'une seule variable, on définit une nouvelle fonction :
Donc en prenant la limite de cette expression lorsque u tend vers 0, on obtient :
D'autre part, on a aussi :
Ainsi
lorsque u tend
vers 0, le
terme de droite de cette équation tend lui-même vers 0 car a
une valeur proche de 0.
À la limite, il reste donc :
Pour simplifier
cette écriture, on introduit la notion de différentielle.
Pour cela, il faut remarquer que est
une toute petite variation de
.
On note alors
la différentielle
de x . De
même,
est
une toute petite variation de
.
On note alors :
la différentielle
de f.
On obtient une
relation entre ces différentielles :
On appelle différentielle d'ordre 1 d'une fonction en un point a (ou dérivée de cette fonction au point a) la partie linéaire de l'accroissement de cette fonction entre a et a+h lorsque h tend vers 0.
Si la fonction f dépend de plusieurs variables x, y, et z, le même raisonnement peut être appliqué, et on obtient une équation faisant intervenir les dérivées partielles :
.
Il existe
différentes notations pour exprimer la valeur de la dérivée d'une
fonction en
un point
:
Constante
La dérivée d’une fonction constante est nulle.
Pour c un nombre
réel, on a donc
[c] = 0.
Somme et soustraction
La somme de deux fonctions différentiables est différentiable (de même pour la soustraction)
[f(x)
+ g(x)] = f'(x) + g'(x)
et
[f(x) - g(x)]
= f'(x) - g'(x)
Produit par une constante
[cf(x)]
= cf'(x) où c est un nombre réel
Puissance
Si n est un nombre rationnel, alors la fonction f(x) = xn est différentiable et
[xn]
= nxn-1
Combinaison
linéaire
Si f et g sont
différentiables en a, alors est
différentiable en a et
Composition
Si f est
différentiable en a et g est différentiable en f(a), alors est
différentiable en a et
Inversion
On se reporte au théorème d’inversion locale :
Soient U un ouvert de Rn , a un point de U et f une fonction de U dans Rn de classe C1.
On suppose que la différentielle de f en a est une application linéaire inversible. Alors il existe un ouvert V contenant a et un ouvert W contenant f(a) tel que f soit un C1-difféomorphisme de V sur W. En outre, pour tout x de V, on a :