Permutações e combinações

Organizando objectos

Exemplo

Quantas maneiras diferentes podem as letras P, Q, R, S ser dispostas?

A resposta é 4! = 24.

Isto ocorre porque existem quatro espaços a serem preenchidos: _, _, _, _

O primeiro espaço pode ser preenchido por qualquer uma das quarto letras. O segundo espaço pode ser preenchido por qualquer uma das restantes 3 letras. O terceiro espaço pode ser preenchido por qualquer uma das 2 letras restantes e o espaço final deve de ser preenchido pela letra restante, O número total de arranjos possíveis é, portanto 4 × 3 × 2 × 1 = 4!

n!      .
p! q! r! …

Exemplo

De quantas maneiras podem as letras da palavra: ESTATÍSTICA ser disposta?

Tem 3 S’s, 2 I’s e 3 T’s neste texto, portanto, número de formas de organizar as letras são:

10!=50 400
3! 2! 3!

Anéis e Rotundas

Quando os arranjos no sentido horário e anti-horário são os mesmos, o número de maneiras é ½ (n – 1)!

Exemplo

Dez pessoas vão a uma festa. De quantas maneiras diferentes podem ser sentadas?

Dispositivo anti-horário e horário são os mesmos. Portanto, o número total de formas é ½ (10-1)! = 181 440

Combinações

O número de maneiras de seleccionar r objectos de n ao contrário dos objectos é:

Exemplo

Existem 10 bolas num saco, numeradas de 1 a 10. Três bolas são seleccionadas ao acaso. Quantas maneiras diferentes existem de seleccionar as três bolas?

10C3 =10!=10 × 9 × 8= 120
             3! (10 – 3)!3 × 2 × 1

Permutações

Uma permutação é um arranjo ordenado.

nPr = n!       .
          (n – r)!

Exemplo

No jogo Match of the Day, na competição golo do mês, se tivesse que escolher os 3 principais objectivos de 10. Uma vez que a ordem é importante, a fórmula de permutação que usamos é

10P3 =10!
               7!

= 720

Há, portanto, 720 maneiras diferentes de escolher os três principais objectivos.

Probabilidade

Os factos acima referidos podem ser usados para ajudar a resolver problemas na probabilidade.

Exemplo

Na Lotaria Nacional, 6 números são escolhidos de 49. Ganha se as seis bolas que escolher combinar coma as seis bolas seleccionadas pela máquina. Qual é a probabilidade de ganhar a Lotaria Nacional?

O número de maneiras de escolher 6 números de 49 é 49C6 = 13 983 816 .

Portanto, a probabilidade de ganhar a lotaria é 1/13983816 = 0.000 000 071 5 (3sf), que é 1 em 14 milhões de chances.