A função totiente , também denominada função totiente de Euler, é definida com
o número de inteiros positivos
que são relativamente
primos (ou seja, não contém nenhum factor em comum com)
, onde 1 é contado como sendo relativamente privilegiado
para todos os números. Uma vez que um número inferior ou igual a relativamente
primos de um número é chamado um totative, a função totiente
pode ser simplesmente
definido com o número de totatives de
. Por exemplo, existem oito totatives de 24 (1, 5, 7, 11,
13, 17, 19, e 23), então
. A função totiente é implementada na Matemática como Euler
Phi [n].
é sempre o mesmo para
. Por convenção,
, embora a Matemática defina Euler Phi[0] igual a 0 a
coerência com o seu comando Integer Factor [0]. Os primeiros valores de
para
,
2, ... são 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, ...
(Sloane's A000010). A função totiente é dada pela
transformação de Moebius 1, 2, 3, 4, ... (Sloane e Plouffe).
é plotado acima para
pequenas
.
Para um primo ,
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(1)
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Uma vez que todos os números
inferiores são relativamente
primos a
. Se
é uma potência de um
primo, então os números que têm um factor comum com
são os múltiplos de
:
,
, ...,
. Tem
desses múltiplos, de
modo que o número de factores relativamente privilegiado com
é
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(2)
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(3)
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(4)
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Agora, dê uma geral divisível por
. Deixe
ser o número de
números inteiros positivos
não divisível por
. Como anteriormente,
,
, ...,
têm factores comuns, de modo
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(5) |
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(6) |
Agora vamos ser outro primo
dividindo
. Os inteiros divisíveis por
são
,
, ...,
. Mas estes duplicam
,
, ...,
. Portanto, o número de termos que deve ser subtraído de
obter é
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(7)
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(8)
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e
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(9)
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(10)
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(11)
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Por indução, o caso geral é então
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(12)
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(13)
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Onde, o produto é executado sobre
todos os números primos dividindo
. Uma identidade interresante relativa
para
é dado por
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(14)
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(A. Olofsson).
Outra identidade relaciona os
divisores de
para
via
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(15)
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A função totiente está ligada à
função de Moebius através da soma
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(16)
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Onde a soma é maior que os divisores
, o que pode ser provado por indução em
e o facto
e
são multiplicativos
(Berlekamp; van Lint and Nienhuys).
A função totiente tem a função de
gerar séries de Dirichlet
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(17)
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para (Hardy and Wright).
A função totiente satisfaz a
desigualdade
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(18)
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Para todos excepto
e
(Kendall and Osborn
1965; Mitrinović e Sándor 1995, p. 9). Assim, os únicos valores de
para os quais
são
, 4, e 6. Além disso, para o composto
,
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(19)
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(Sierpiński e Schinzel 1988;
Mitrinović e Sándor).
também satisfaz
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(20)
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onde é a característica
constante de Euler-Mascheroni. Os valores de
para os quais
são dados por 3, 4,
5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, ... (Sloane's A100966).
A função de divisor satisfaz a congruência
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(22) |
Para todos os números primos e nenhum composto com
a excepção de 4, 6, e 22, onde
é a função de
divisor. Este facto foi provado por Subbarao, apesar da implicação em contrário,
"é verdade para infinitamente muitos compósitos
?," afirmou em Guy, uma consulta posteriormente
removida por Guy. Nenhuma solução é composta actualmente conhecida por
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(23) |
(Honsberger).
Um corolário do teorema Zsigmondy
leva à seguinte congruência,
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(24) |
(Zsigmondy,
Moree, Ruiz).
Os primeiros para os quais
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(25)
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São dados por 1, 3, 15, 104, 164,
194, 255, 495, 584, 975, ... (Sloane's A001274), que têm valores comuns , 2, 8, 48, 80, 96, 128, 240, 288, 480, ... (Sloane's
A003275).
A única para os quais
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(26)
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é , dando
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(27)
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(Guy).
Valores de compartilhado entre
que estão juntos
incluem
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(29)
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(30)
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(Guy). McCranie encontrou uma progressão aritmética de seis números
com funções Totiente iguais,
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Bem como outras progressões de seis
números começando 1166400, 1749600, ... (Sloane's A050518).
Se a conjectura de Goldbach é
verdadeira, então, para cada inteiro positivo , existem primos
e
de tal modo que
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(Guy). Erdős perguntou se isso
vale para e
não necessariamente privilegiada,
mas esta forma descontraída ainda não foi provada(Guy).
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(34)
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onde é a função de divisor.
F. Helenius encontrou 365 tais soluções, e a primeira das quais está 2, 8,
12, 128, 240, 720, 6912, 32768, 142560, 712800, ... (Sloane's A001229).