En géométrie,la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et ompatible avec la multiplication externe.
Définitions
Si et
sont
deux points du plan ou de l'espace usuel, la norme du vecteur
est la distance AB c'est-à-dire la longueur du segment [AB]. Elle se note à l'aide d'une double barre :
.
Lanorme, la direction et le senssont les trois données qui caractérisent un vecteur et qui ne dépendent donc pas du choix du représentant.
La norme est une application de E (espace vectoriel réel) dans R+.
La distance entre deux vecteurs d (u,v) =
Propriétés
Dans un espace vectoriel réel E,
En particulier, tout vecteur a la même norme que son opposé : ‖
- ‖
.
Exemple 1
Soit =
Trouvez la norme de
.
On utilise la formule suivante :
et l’applique dans R².
=
= 5 (rappel, la norme est toujours positive)
La norme de u est donc 5.
Exemple 2
Soit = [2,1,6].
Trouvez la norme de
.
On utilise la formule suivante :
et
l’applique dans R3.
=
=