Posição da Matriz

Esta lição introduz o conceito da posição da matriz e explica como o posto de uma matriz é revelada pela sua forma escalonada.

O posto de uma matriz

Pode pensar em uma r x c matriz como um conjunto de r vectores de linha, cada um com c elementos, pode pensar nisso como um conjunto de c vectores de coluna, cada um tendo r elementos.

O posto de uma matriz é definido como (a) o número máximo de linearmente independente de vectores coluna na matriz ou (b) o número máximo de vectores linha linearmente independentes da matriz. Ambas as definições são equivalentes.

Para uma r x c matriz,

O posto de uma matriz seria zero somente se a matriz não tivesse elementos. Se uma matriz tem ainda um elemento, sua classificação mínima seria um.

Como encontrar o Posto de uma Matriz

Nesta seção, descrevemos um método para encontrar o posto de qualquer matriz. Este método assume familiaridade com matrizes escalão e transformações escalão.

O número máximo de vectores linearmente independentes numa matriz é igual ao número de linhas não-zero da sua matriz escalonada. Portanto, para encontrar o posto de uma matriz, nós simplesmente transformamos a matriz na sua forma escalonada e contamos o número de linhas não-zero.

Considere a matriz A e a sua linha matriz escalonada, Aref. Anteriormente, nós mostramos como encontrar a forma escalonada para a matriz A.

0

1

2

1

2

1

2

7

8

      

1

2

1

0

1

2

0

0

0

A

Aref

Porque a forma escalonada Aref  tem duas linhas diferentes de zero, sabemos que a matriz A tem dois vectores de linha independente, e nós sabemos que o posto da matriz A é 2.

Pode verificar se está correcto. Linha 1 e Linha 2 da matriz A são linearmente independentes. No entanto, Linha 3 é uma combinação linear das linhas 1 e 2. Especificamente, Linha 3 = 3*( Linha 1 ) + 2*( Linha 2). Portanto, a matriz A tem apenas dois vectores linha independentes.

Posto completo de Matrizes

Quando todos os vectores em uma matriz são linearmente independentes, a matriz é dito ser posto completo. Considere as matrizes A e B abaixo.

A =  

1

2

3

2

4

6

 

B =  

1

0

2

2

1

0

3

2

1

Observe que a linha 2 da matriz A é um múltiplo escalar da linha 1; isto é, a linha 2 é igual a duas vezes à linha 1. Portanto, as linhas 1 e 2 são linearmente dependentes. Matriz A tem apenas uma linha linearmente independente, pelo que a sua classificação é 1. Assim, a matriz A não é posto completo.

Agora, olhe para a matriz B. Todas as suas linhas são linearmente independentes, então o posto da matriz B é 3. A matriz B é posto completo.

Teste a sua Compreensão

Problema 1

Considere a matriz X, exibida abaixo.

X =    

1

2

4

4

3

4

8

0

Qual é a sua posição?

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Solução

A resposta correcta é (C). Uma vez que a matriz tem elementos maiores do que zero, a sua classificação tem de ser maior que zero. E uma vez que temos menos linhas do que colunas, a sua classificação máxima é igual ao número máximo de linhas independentes linearmente. E porque nenhuma linha é linearmente dependente da outra linha, a matriz tem 2 linhas linearmente independentes, pelo que a sua posição é de 2.

Problema 2

Considere a matriz Y, exibida abaixo.

Y =    

1

2

3

2

3

5

3

4

7

4

5

9

Qual é a sua posição?

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Solução

A reposta correcta é (C). Uma vez que a matriz tem elementos maiores do que zero, a sua classificação tem de ser maior que zero. E, uma vez que tem menos colunas que linhas, a sua classificação máxima é igual ao número máximo de colunas linearmente independentes.

Colunas 1 e 2 são independentes, porque não pode ser derivada como múltiplo escalar da outra. No entanto, a coluna 3 é linearmente dependente das colunas 1 e 2, porque a coluna 3 é igual ao da coluna 1 e maior que a coluna 2. Isso deixa a matriz com um máximo de duas colunas linearmente independentes; ou seja., coluna1 e coluna 2. Assim o posto da matriz é 2.