Il prodotto di due matrici
e
è definito come
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(1)
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(2)
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dove denota una matrice con
righe e
colonne. Scrivendo
il prodotto in modo esplicito,
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(3)
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dove
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(4)
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(5)
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(6)
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(7)
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(8)
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(9)
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(10)
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(12)
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La moltiplicazione di matrici è associativa, come si può vedere prendendo
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(13)
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dove la sommatoria di Einstein viene di nuovo usata. Ora, dal momento che ,
, e
sono scalari,
si usa l'associatività della moltiplicazione scalare per scrivere
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(14)
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Poichè questo è vero per ogni e
, deve essere vero che
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(15)
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Cioè la moltiplicazione di matrici è associativa. L'equazione (13) può quindi essere scritta come
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(16)
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senza ambiguità. A causa dell'associatività, le matrici formano un semigruppo.
La moltiplicazione di matrici è anche distributiva. Se e
sono matrici
e
e
sono matrici
,
allora
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(17)
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(18)
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Dal momento che le matrici formano un gruppo abeliano sotto l'addizione, le matrici
formano un anello.
Tuttavia, la moltiplicazione di matrici non è, in generale, commutativa (è commutativa
se e
sono diagonali e hanno la stessa dimensione).
Il prodotto di due blocchi di matrici è dato moltiplicando ogni blocco
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(19)
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